Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva os três primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(a)
, em que
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Estamos diante de três equações diferenciais ordinárias, todas com ponto regular em
. Para cada uma adotamos a série de potências
calculamos
e
, inserimos na equação diferencial, igualamos coeficientes de
a zero e obtemos uma relação de recorrência entre os
. Depois extraímos os três primeiros termos não nulos de cada solução (duas independentes quando necessário) e determinamos o raio de convergência a partir dos coeficientes analíticos.
Passo 2
(a)
.
Suponha . Então
Suponha
Igualando a zero coeficiente de
obtemos
isto é, para
,
Dessa forma as duas soluções independentes são a par (com
) e a ímpar (com
). Tomando
e
como normas:
Solução par:
Solução ímpar:
Como o coeficiente de
é inteiro em
, a série converge para todo
. Logo o intervalo de validade é
.
Passo 3
(b)
.
Assuma . Então
Assuma
Reagrupando, para
,
ou
Há duas soluções independentes, normadas por
e
.
Para
:
Para
:
O coeficiente singular surge em
, logo o raio de convergência é
, ou seja a solução vale para
.
Passo 4
(c)
,
,
.
Com e
equivalentes, obtemos ao coletar:
Com
daí
Pelas condições iniciais
,
:
Portanto
O denominador
anula-se em
, dando raio
. Logo a série vale para
.
Resposta
(a) Soluções independentes em série:
válidas em
.
(b) Duas soluções independentes em série:
válidas para
.
(c) Solução única com condições
:
válida para
.