Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x_{0}=0 ). Escreva os três primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(a) y^{\prime \prime}+k^{2} x^{2} y=0, em que k \in \mathbb{R}.
(b) (1-x) y^{\prime \prime}+y=0.
(c) \left(2+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=0, y(0)=-3, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

Estamos diante de três equações diferenciais ordinárias, todas com ponto regular em x_{0}=0. Para cada uma adotamos a série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calculamos y' e y'', inserimos na equação diferencial, igualamos coeficientes de x^{n} a zero e obtemos uma relação de recorrência entre os a_{n}. Depois extraímos os três primeiros termos não nulos de cada solução (duas independentes quando necessário) e determinamos o raio de convergência a partir dos coeficientes analíticos.

Passo 2

(a) y''+k^{2}x^{2}y=0.
Suponha y=\sum_{n\ge0}a_{n}x^{n}. Então
\sum_{n\ge0}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} + k^{2}\sum_{n\ge0}a_{n}x^{n+2}=0.
Igualando a zero coeficiente de x^{n} obtemos
(n+2)(n+1)a_{n+2}+k^{2}\,a_{n-2}=0,
isto é, para n\ge0,
a_{n+2}=-\frac{k^{2}}{(n+2)(n+1)}\,a_{n-2}.
Dessa forma as duas soluções independentes são a par (com a_{1}=0) e a ímpar (com a_{0}=0). Tomando a_{0}=1 e a_{1}=1 como normas:
Solução par:
y_{1}(x)=1 -\frac{k^{2}}{12}x^{4} +\frac{k^{4}}{672}x^{8}+\cdots.
Solução ímpar:
y_{2}(x)=x -\frac{k^{2}}{20}x^{5} +\frac{k^{4}}{1440}x^{9}+\cdots.
Como o coeficiente de y é inteiro em x, a série converge para todo x. Logo o intervalo de validade é \bigl(-\infty,\infty\bigr).

Passo 3

(b) (1-x)y''+y=0.
Assuma y=\sum_{n\ge0}a_{n}x^{n}. Então
(1-x)\sum_{n\ge0}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}+\sum_{n\ge0}a_{n}x^{n}=0.
Reagrupando, para m\ge0,
(m+2)(m+1)a_{m+2}+a_{m}-(m+1)m\,a_{m+1}=0,
ou
a_{m+2} =\frac{m(m+1)\,a_{m+1}-a_{m}}{(m+2)(m+1)}.
Há duas soluções independentes, normadas por (a_{0},a_{1})=(1,0) e (0,1).
Para (1,0):
a_{2}=-\tfrac12,\quad a_{3}=-\tfrac16,\quad a_{4}=-\tfrac1{24},\dots
y_{1}(x)=1 -\tfrac12\,x^{2} -\tfrac16\,x^{3} -\tfrac1{24}\,x^{4}+\cdots.
Para (0,1):
a_{2}=0,\quad a_{3}=-\tfrac16,\quad a_{4}=-\tfrac1{12},\dots
y_{2}(x)=x -\tfrac16\,x^{3} -\tfrac1{12}\,x^{4}+\cdots.
O coeficiente singular surge em x=1, logo o raio de convergência é 1, ou seja a solução vale para |x|<1.

Passo 4

(c) \bigl(2+x^{2}\bigr)y''-x\,y'+4y=0, y(0)=-3, y'(0)=2.
Com y=\sum a_{n}x^{n} e y',y'' equivalentes, obtemos ao coletar:
2(m+2)(m+1)a_{m+2}+\bigl[m(m-1)-m+4\bigr]a_{m}=0,
daí
a_{m+2} =-\frac{m^{2}-2m+4}{2(m+2)(m+1)}\,a_{m}.
Pelas condições iniciais a_{0}=y(0)=-3, a_{1}=y'(0)=2:
a_{2}=-a_{0}=3,\quad a_{3}=-\tfrac14\,a_{1}=-\tfrac12,\quad a_{4}=-\tfrac{4-4+4}{2\cdot4\cdot3}\,a_{2}=-\tfrac12,\dots
Portanto
y(x)=-3 +2x +3x^{2} -\tfrac12\,x^{3} -\tfrac12\,x^{4}+\cdots.
O denominador 2+x^{2} anula-se em x=\pm i\sqrt2, dando raio \sqrt2. Logo a série vale para |x|<\sqrt2.

Resposta

(a) Soluções independentes em série:
y_{1}(x)=1 -\frac{k^{2}}{12}x^{4} +\frac{k^{4}}{672}x^{8}+\cdots,\quad y_{2}(x)=x -\frac{k^{2}}{20}x^{5} +\frac{k^{4}}{1440}x^{9}+\cdots,
válidas em \bigl(-\infty,\infty\bigr).
(b) Duas soluções independentes em série:
y_{1}(x)=1 -\tfrac12x^{2} -\tfrac16x^{3} -\tfrac1{24}x^{4}+\cdots,\quad y_{2}(x)=x -\tfrac16x^{3} -\tfrac1{12}x^{4}+\cdots,
válidas para |x|<1.
(c) Solução única com condições y(0)=-3,\;y'(0)=2:
y(x)=-3 +2x +3x^{2} -\tfrac12x^{3} -\tfrac12x^{4}+\cdots,
válida para |x|<\sqrt2.

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