(11) Obtenha o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
g(x)=lx, se x<0 x^2, se 0 <= x <= 2 8-x, se x>2.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= x, & x<0, x^2,& 0 <= x <= 2, 8 - x,& x>2,
e pede o conjunto de seus pontos de continuidade. Vamos usar o fato de que cada parte é contínua em seu intervalo interno e depois verificar as junções em x=0 e em x=2.

Passo 2

Como as funções x, x^2 e 8 - x são contínuas em todo R, segue que g é contínua em cada intervalo aberto onde só aparece uma expressão, isto é, em
(-infty,0), (0,2), (2,infty)

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=0.
O valor de g em 0 é
g(0)=0^2=0
O limite pela esquerda é
limxto0^-g(x)=limxto0^-x=0,
e o limite pela direita é
limxto0^+g(x)=limxto0^+x^2=0
Como os dois limites coincidem entre si e com g(0), g é contínua em x=0.

Passo 4

Verificamos a continuidade em x=2.
O valor de g em 2 é
g(2)=2^2=4
O limite pela esquerda é
limxto2^-g(x)=limxto2^-x^2=4,
enquanto o limite pela direita é
limxto2^+g(x)=limxto2^+(8-x)=8-2=6
Como 4 neq 6, os limites laterais não coincidem, logo g é descontínua em x=2.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de g é
(-infty,2)cup(2,infty)
ou, equivalentemente,
Rsetminus2

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