3 Sejam
funções definidas em um intervalo aberto
e
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas.
(a) Se existirem os limites
e
então existirá o limite
.
(b) Pode existir o limite
sem que existam os limites
e
.
(c) Se existir o limite
e não existir o limite
, então não existe o limite
.
(d) Se existirem os limites
e
, então existirá o limite
.
(e) Se existir o limite
e não existir o limite
, então não existirá o limite
.
(f) Se existirem os limites
e
, então existirá o limite
.
(a) Se existirem os limites
(b) Pode existir o limite
(c) Se existir o limite
(d) Se existirem os limites
(e) Se existir o limite
(f) Se existirem os limites
Passo 1
O enunciado pede para cada afirmação (a)–(f) verificar se é verdadeira ou falsa, usando propriedades básicas de limites e, quando necessário, construir contraexemplos. Vamos aplicar a álgebra de limites (soma, diferença, quociente) e lembrar que, para existir
, os limites laterais devem existir e ser iguais.
Passo 2
Afirmação (a): “Se existirem
e
então existirá
.”
Como
Como
seja
e
. Então, pela propriedade da diferença de limites,
existe. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Pode existir
sem que existam
e
.”
Contraexemplo em :
Contraexemplo em
Sabemos que
e
não existem, mas
Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Se existir
e não existir
, então não existe
.”
Prova por contradição: suponha que e que
existe. Então, como no passo (a),
Prova por contradição: suponha que
existe, contradizendo a hipótese de que
não existe. Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “Se existirem
e
, então existirá
.”
Isto é falso em geral, pois falta a condição . Contraexemplo em
:
Isto é falso em geral, pois falta a condição
Temos
e
, mas
não tem limite finito em
. Portanto (d) é falsa.
Passo 6
Afirmação (e): “Se existir
e não existir
, então não existirá
.”
Também falsa: basta escolher que tende a zero e
qualquer sem limite mas sempre não nulo. Por exemplo, em
:
Também falsa: basta escolher
Temos
e
não existe, mas
para todo
, então
existe. Logo (e) é falsa.
Passo 7
Afirmação (f): “Se existirem
Então , mas
não existe. Portanto (f) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Falsa.