3 Sejam f, g: I R funções definidas em um intervalo aberto I e a in I. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as respostas.
(a) Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a(f(x)+g(x)) então existirá o limite lim x a g(x).
(b) Pode existir o limite lim x a(f(x)+g(x)) sem que existam os limites lim x a f(x) e lim x a g(x).
(c) Se existir o limite lim x a f(x) e não existir o limite lim x a g(x), então não existe o limite lim x a(f(x)+g(x)).
(d) Se existirem os limites lim x a f(x) e lim x a g(x), então existirá o limite lim x a f(x)g(x).
(e) Se existir o limite lim x a f(x) e não existir o limite lim x a g(x), então não existirá o limite lim x a f(x)g(x).
(f) Se existirem os limites lim x a^+ f(x) e lim x a^- f(x), então existirá o limite lim x a f(x).

Passo 1

O enunciado pede para cada afirmação (a)–(f) verificar se é verdadeira ou falsa, usando propriedades básicas de limites e, quando necessário, construir contraexemplos. Vamos aplicar a álgebra de limites (soma, diferença, quociente) e lembrar que, para existir limxto af(x), os limites laterais devem existir e ser iguais.

Passo 2

Afirmação (a): “Se existirem limxto af(x) e limxto a(f(x)+g(x)) então existirá limxto ag(x).”
Como
g(x) = l(f(x)+g(x)r) - f(x),
seja limxto af(x)=L e limxto a(f+g)=M. Então, pela propriedade da diferença de limites,
limxto ag(x) = M - L
existe. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Pode existir limxto a(f(x)+g(x)) sem que existam limxto af(x) e limxto ag(x).”
Contraexemplo em a=0:
f(x)=sinl(1/xr), g(x)=-sinl(1/xr)
Sabemos que limxto0sin(1/x) e limxto0-sin(1/x) não existem, mas
f(x)+g(x)=0 Longrightarrow limxto0l(f(x)+g(x)r)=0
Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Se existir limxto af(x) e não existir limxto ag(x), então não existe limxto a(f(x)+g(x)).”
Prova por contradição: suponha que limxto af(x)=L e que limxto a(f+g)=M existe. Então, como no passo (a),
limxto ag(x)=limxto a(f+g)-limxto af=L'-L
existe, contradizendo a hipótese de que limxto ag(x) não existe. Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “Se existirem limxto af(x) e limxto ag(x), então existirá limxto af(x)g(x).”
Isto é falso em geral, pois falta a condição limxto ag(x)neq0. Contraexemplo em a=0:
f(x)=1, g(x)=x
Temos limxto0f(x)=1 e limxto0g(x)=0, mas
f(x)g(x)=1x
não tem limite finito em 0. Portanto (d) é falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “Se existir limxto af(x) e não existir limxto ag(x), então não existirá limxto af(x)g(x).”
Também falsa: basta escolher f(x) que tende a zero e g(x) qualquer sem limite mas sempre não nulo. Por exemplo, em a=0:
f(x)=0, g(x)=sinl(1/xr)
Temos limxto0f(x)=0 e limxto0sin(1/x) não existe, mas
f(x)g(x)=0sin(1/x)=0
para todo xneq0, então limxto0f(x)g(x)=0 existe. Logo (e) é falsa.

Passo 7

Afirmação (f): “Se existirem
Então , mas não existe. Portanto (f) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(f) Falsa.

Exercícios relacionados