Exercicio 3. ( 11 valores)
- Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Oi! Vamos resolver essa integral que envolve uma fração bem parecida com a que a gente vê em cálculo integral. O assunto principal aqui é a integração de frações racionais usando frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Aí, a gente pode fatorar esse polinômio. Vamos fatorar passo a passo:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1. Esses números são +2 e -1:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração original como uma soma de frações mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Vamos resolver para
,
e
escolhendo valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a fração original de forma simplificada:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.