Exercicio 3. ( 11 valores)
  1. Calcular as seguintes integrais:
    integral x^2+2 x-1x^3+x^2-2 x d x

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa integral que envolve uma fração bem parecida com a que a gente vê em cálculo integral. O assunto principal aqui é a integração de frações racionais usando frações parciais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^3 + x^2 - 2x. Aí, a gente pode fatorar esse polinômio. Vamos fatorar passo a passo:
x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 + x - 2. Procuramos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão +1. Esses números são +2 e -1:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, o denominador fatorado fica:
x^3 + x^2 - 2x = x(x + 2)(x - 1)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos expressar a fração original como uma soma de frações mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar constantes A, B e C tais que:
x^2 + 2x - 1x(x + 2)(x - 1) = Ax + Bx + 2 + Cx - 1
Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x + 2)(x - 1):
x^2 + 2x - 1 = A(x + 2)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 2)

Passo 4

Vamos resolver para A, B e C escolhendo valores de x que simplificam a equação:
  1. Para x = 0:
0^2 + 2(0) - 1 = A(0 + 2)(0 - 1) + B(0)(0 - 1) + C(0)(0 + 2)
-1 = A(2)(-1) Rightarrow -1 = -2A Rightarrow A = 12
  1. Para x = -2:
(-2)^2 + 2(-2) - 1 = A(-2 + 2)(-2 - 1) + B(-2)(-2 - 1) + C(-2)(-2 + 2)
4 - 4 - 1 = 0 + B(-2)(-3) + 0 Rightarrow -1 = 6B Rightarrow B = -16
  1. Para x = 1:
1^2 + 2(1) - 1 = A(1 + 2)(1 - 1) + B(1)(1 - 1) + C(1)(1 + 2)
1 + 2 - 1 = 0 + 0 + 3C Rightarrow 2 = 3C Rightarrow C = 23

Passo 5

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos escrever a fração original de forma simplificada:
x^2 + 2x - 1x(x + 2)(x - 1) = 12x + -16x + 2 + 23x - 1
Simplificando:
12x - 16(x + 2) + 23(x - 1)

Resposta

A integral é igual a:
integral x^2 + 2x - 1x^3 + x^2 - 2x , dx = 12 ln|x| - 16 ln|x + 2| + 23 ln|x - 1| + C
onde C é a constante de integração.

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