Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim y x0(sen(x0 y)+cos (y^2-x0))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando y se aproxima de x0 da expressão sin(x0 y) + cos(y^2 - x0) . Vamos usar conceitos de limites e as propriedades das funções seno e cosseno para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função quando uma variável se aproxima de um ponto específico. Basicamente, queremos saber qual valor a função se aproxima conforme y chega cada vez mais perto de x0 .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Temos duas funções: sin(x0 y) e cos(y^2 - x0) . Vamos calcular o limite de cada uma delas individualmente.

Passo 4

Para sin(x0 y) , como y se aproxima de x0 , podemos substituir y por x0 na expressão:
limy to x0 sin(x0 y) = sin(x0 cdot x0) = sin(x0^2)
A função seno é contínua, então podemos substituir diretamente.

Passo 5

Agora, para cos(y^2 - x0) , novamente substituímos y por x0 :
limy to x0 cos(y^2 - x0) = cos(x0^2 - x0)
A função cosseno também é contínua, permitindo a substituição direta.

Passo 6

Finalmente, somamos os limites das duas partes que calculamos:
limy to x0 ( sin(x0 y) + cos(y^2 - x0) ) = sin(x0^2) + cos(x0^2 - x0)

Resposta

O limite é sin(x0^2) + cos(x0^2 - x0) .

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