Resolva as equaçōes diferencias:
d) (6 pontos) 2 x^3 d yd x=y(y^2+3 x^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x^3dydx=yl(y^2+3x^2r)
Isso é uma equação homogênea de primeira ordem, pois a razão dy/dx pode ser escrita em termos de y/x. Vamos usar a substituição v=y/x.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão:
dydx =yl(y^2+3x^2r)2x^3 =y^3+3x^2y2x^3 =12l(y^3x^3+3yxr)

Passo 3

Fazemos v=yx, logo y=v,x e
dydx =v + xdvdx
Substituindo em dydx=tfrac12(v^3+3v), obtemos
v + xdvdx =12l(v^3+3vr)

Passo 4

Reorganizando:
xdvdx =12l(v^3+3vr)-v =12l(v^3+vr) =v(v^2+1)2
Isto dá separação de variáveis:
dvv(v^2+1) =dx2x

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para a esquerda usamos frações parciais:
1v(v^2+1) =1v-vv^2+1
Então
integrall(1v-vv^2+1r)dv =lnlvert vrvert-12lnl(v^2+1r),
enquanto
integraldx2x =12lnlvert xrvert + C
Logo
lnlvert vrvert-tfrac12lnl(v^2+1r) =tfrac12lnlvert xrvert + C

Passo 6

Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos
v^21+v^2 =A,x,
com A=e^2C. Voltando a v=y/x:
(y/x)^21+(y/x)^2 =A,x Longrightarrow y^2x^2+y^2 =A,x Longrightarrow y^2=A,x^31-A,x,
que é a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy^2=C,x^31 - C,x,
onde C é constante arbitrária.

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