Analise a convergência das sequências. Caso convirja, determine o valor do limite:
[\mathbf{1}, \mathbf{0}] a_{n}=\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência e, caso convirja, determinar o valor do limite. A sequência dada é
a_{n}=\left(\frac{n-2}{n}\right)^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para todo n\in\mathbb{N}, a_{n}=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n} (reescrita útil).
  • Para pequenos n (por exemplo n=1,2) os termos podem ser não positivos, mas a análise do limite considera n\to\infty — para n\ge 3 a base é positiva, então podemos aplicar logaritmo natural na cauda da sequência.
  • O objetivo é decidir se \{a_n\} converge e, se sim, encontrar \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Reescrevo a sequência de uma forma que reconheçamos um limite clássico. Observando a fração:
\frac{n-2}{n}=1-\frac{2}{n}.
Logo
a_n=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
Essa forma lembra o tipo de limite \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n} que costuma convergir para e^{x}. Aqui temos x=-2. Vou transformar o problema para trabalhar com logaritmo natural, o que facilita usar limites conhecidos.

Passo 3

Defino o logaritmo natural do termo (para n\ge 3 os termos são positivos, então o log é bem definido):
\ln a_n = n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).
Quero calcular o limite de \ln a_n quando n\to\infty. Se eu mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\ln a_n = L para algum L\in\mathbb{R}, então pela continuidade da função exponencial teremos \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = e^{L}.

Passo 4

Faço uma manipulação algébrica que deixa aparecer um quociente cujo limite conhecemos. Escrevo
\ln a_n = n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right) = (-2)\cdot \frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{-\dfrac{2}{n}}.
Agora note que -\dfrac{2}{n}\to 0 quando n\to\infty. Usamos o limite clássico (que pode ser provado por L’Hôpital ou pela série de Taylor)
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Aplicando com t=-\dfrac{2}{n} (que tende a 0), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{-\dfrac{2}{n}}=1.
Portanto, passando ao limite em \ln a_n,
\lim_{n\to\infty}\ln a_n = (-2)\cdot 1 = -2.

Passo 5

Como \ln a_n \to -2 e a função exponencial \exp é contínua, podemos exponenciar o limite:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{\ln a_n} = e^{-2}.
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é e^{-2}. (Para referência numérica, e^{-2}\approx 0,135335\ldots, mas o resultado exato é e^{-2}.)

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-2}

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