Analise a convergência das sequências. Caso convirja, determine o valor do limite:
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência e, caso convirja, determinar o valor do limite. A sequência dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para todo
, (reescrita útil). - Para pequenos
(por exemplo ) os termos podem ser não positivos, mas a análise do limite considera — para a base é positiva, então podemos aplicar logaritmo natural na cauda da sequência. - O objetivo é decidir se
converge e, se sim, encontrar .
Passo 2
Reescrevo a sequência de uma forma que reconheçamos um limite clássico. Observando a fração:
Logo
Essa forma lembra o tipo de limite
que costuma convergir para
. Aqui temos
. Vou transformar o problema para trabalhar com logaritmo natural, o que facilita usar limites conhecidos.
Passo 3
Defino o logaritmo natural do termo (para
os termos são positivos, então o log é bem definido):
Quero calcular o limite de
quando
. Se eu mostrar que
para algum
, então pela continuidade da função exponencial teremos
.
Passo 4
Faço uma manipulação algébrica que deixa aparecer um quociente cujo limite conhecemos. Escrevo
Agora note que
quando
. Usamos o limite clássico (que pode ser provado por L’Hôpital ou pela série de Taylor)
Aplicando com
(que tende a
), obtemos
Portanto, passando ao limite em
,
Passo 5
Como
e a função exponencial
é contínua, podemos exponenciar o limite:
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é
. (Para referência numérica,
, mas o resultado exato é
.)