Analise a convergência das sequências. Caso convirja, determine o valor do limite:
[\mathbf{1 , 0}] a_{n}=\frac{n^{3}+(-1)^{n}}{n^{4}}.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_{n}=\frac{n^{3}+(-1)^{n}}{n^{4}}
e, se convergir, determinar o valor do limite. Informações dadas que vamos usar:
  • A sequência está definida para n\in\mathbb{N} grandes.
  • No numerador há a soma de duas parcelas: n^{3} e (-1)^{n}.
  • Sabemos que (-1)^{n} é sempre ou -1 ou 1, ou seja, é uma sequência limitada (em módulo vale 1).
  • O denominador é n^{4}, que cresce para +\infty quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão, separando as parcelas que somam no numerador (isso é permitido porque divisão é distributiva sobre adição):
a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{4}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}.
Essa decomposição é útil porque agora vemos duas sequências somadas: \frac{1}{n} e \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}.

Passo 3

Analiso a primeira parcela \frac{1}{n}.
  • Intuitivamente, quando n cresce, o denominador cresce e o quociente \frac{1}{n} fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
  • Formalmente, é um resultado básico: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. (Para ver rápido: dado \varepsilon>0 basta tomar N>\frac{1}{\varepsilon} para garantir \frac{1}{n}<\varepsilon para todo n\ge N.)

Passo 4

Analiso a segunda parcela \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}.
  • Como mencionado, |(-1)^{n}|=1 para todo n. Então, em módulo,
\left|\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}\right|=\frac{1}{n^{4}}.
  • E sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{4}}=0 (denominador de grau maior faz o termo tender a zero). Pelo Teorema do Confronto (squeeze), como -\frac{1}{n^{4}}\le \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}\le\frac{1}{n^{4}} e as extremas tendem a 0, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}=0.

Passo 5

Agora uso a propriedade de limites: se duas sequências (x_n) e (y_n) têm limites L_x e L_y, então (x_n+y_n) tem limite L_x+L_y. Temos visto que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}=0,
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\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}\right)=0+0=0.

Passo 6

Para ficar totalmente rigoroso (prova \varepsilon- N), mostro que a_n\to 0. Calculo o módulo:
|a_n-0|=\left|\frac{1}{n}+\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}\right|\le \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}.
Para n\ge 1 vale \frac{1}{n^{4}}\le\frac{1}{n}, então
|a_n|\le \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{4}}\le \frac{2}{n}.
Dado \varepsilon>0, escolha N inteiro tal que N>\frac{2}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N,
|a_n|\le \frac{2}{n}\le \frac{2}{N}<\varepsilon.
Isso prova que \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 7

Dica rápida para prova/exame (resumo prático): quando tiver uma sequência racional do tipo \frac{\text{polinômio de grau }p}{\text{polinômio de grau }q}ôô, se q>p o limite é 0; se q=p o limite é a razão dos coeficientes dominantes; se q<p o limite é infinito ou divergente. Aqui o grau do denominador ( 4) é maior que o do numerador dominante ( 3), então o limite é 0 — isso confirma o que calculamos.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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