Essa decomposição é útil porque agora vemos duas sequências somadas: \frac{1}{n} e \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}.
Passo 3
Analiso a primeira parcela \frac{1}{n}.
Intuitivamente, quando n cresce, o denominador cresce e o quociente \frac{1}{n} fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Formalmente, é um resultado básico: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. (Para ver rápido: dado \varepsilon>0 basta tomar N>\frac{1}{\varepsilon} para garantir \frac{1}{n}<\varepsilon para todo n\ge N.)
Passo 4
Analiso a segunda parcela \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}.
Como mencionado, |(-1)^{n}|=1 para todo n. Então, em módulo,
E sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{4}}=0 (denominador de grau maior faz o termo tender a zero). Pelo Teorema do Confronto (squeeze), como -\frac{1}{n^{4}}\le \frac{(-1)^{n}}{n^{4}}\le\frac{1}{n^{4}} e as extremas tendem a 0, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{4}}=0.
Passo 5
Agora uso a propriedade de limites: se duas sequências (x_n) e (y_n) têm limites L_x e L_y, então (x_n+y_n) tem limite L_x+L_y. Temos visto que
Dado \varepsilon>0, escolha N inteiro tal que N>\frac{2}{\varepsilon}. Então, para todo n\ge N,
|a_n|\le \frac{2}{n}\le \frac{2}{N}<\varepsilon.
Isso prova que \lim_{n\to\infty}a_n=0.
Passo 7
Dica rápida para prova/exame (resumo prático): quando tiver uma sequência racional do tipo \frac{\text{polinômio de grau }p}{\text{polinômio de grau }q}ôô, se q>p o limite é 0; se q=p o limite é a razão dos coeficientes dominantes; se q<p o limite é infinito ou divergente. Aqui o grau do denominador (4) é maior que o do numerador dominante (3), então o limite é 0 — isso confirma o que calculamos.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.