11- Um oscilador harmônico simples é composto por uma mola de constante elástica de 27 N / m e massa de 3,0 kg. A mola é esticada de 0,20 m e o sistema é solto a partir do repouso. Determine a equação de movimento do oscilador.

Passo 1

Beleza, mano, o enunciado diz que temos um oscilador harmônico simples (OHS) com mola de constante elástica k=27rm,N/m e massa m=3,0,kg. A mola foi esticada 0,20,m e soltada do repouso. O que a gente quer é achar a equação do movimento x(t). Para isso vamos usar:
  1. A Segunda Lei de Newton junto com a Lei de Hooke;
  2. Resolver a equação diferencial do OHS;
  3. Aplicar as condições iniciais (posição e velocidade iniciais).

Passo 2

Primeiro, montamos a equação diferencial. A força elástica faz F=-k,x (Lei de Hooke) e Newton dá m,a=m,ddot x=F. Então:
m,ddot x + k,x = 0,
Isso é a equação padrão de um oscilador harmônico simples.

Passo 3

Sabendo que a solução genérica dessa equação é uma combinação de cosseno e seno, escrevemos:
x(t)=Acos(omega t) + Bsin(omega t),,
onde a frequência angular omega vale
omega = raizkm,
Aqui omega = raiz27/3 = raiz9=3,rad/s.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais no instante t=0:
  • x(0)=0,20,m (a mola foi esticada 0,20 m);
  • v(0)=dot x(0)=0 (soltou do repouso).
    Em t=0:
x(0)=Acos0 + Bsin0 = A = 0,20,
A derivada é
dot x(t)=-A,omegasin(omega t) + B,omegacos(omega t),,
então em t=0:
dot x(0)=B,omega =0;Longrightarrow;B=0,

Passo 5

Substituindo A=0,20, B=0 e omega=3 rad/s na solução geral, fica:
boxedx(t)=0,20cosl(3,tr),, t em segundos e x em metros

Resposta

x(t)=0,20cos(3t),.

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