Mostre que:
As funções seno, co-seno e exponencial são proporcionais à suas derivadas segundas.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra mostrar que as funções seno, cosseno e exponencial são “proporcionais” à sua derivada segunda.
Conteúdo: derivada e segunda derivada de funções elementares.
O que vamos precisar:
  • Saber o que é derivada (taxa de variação).
  • Regras de derivação:
    1. (sin x)'=cos x,
    2. (cos x)'=-sin x,
    3. (e^x)'=e^x.
  • Definição de proporcionalidade entre duas funções: f''(x)=k,f(x) para alguma constante k.

Passo 2

Primeiro, a segunda derivada de sin x.
  1. Derivada primeira:
ddxl(sin xr)=cos x
  1. Derivada segunda: aplicando a derivada em cos x,
ddxl(cos xr)=-sin x
Juntando,
d^2dx^2l(sin xr)=-sin x
Ou seja, sin''(x)=-1cdotsin x. Logo o seno é proporcional à sua segunda derivada, com constante k=-1.

Passo 3

Agora, a segunda derivada de cos x.
  1. Derivada primeira:
ddxl(cos xr)=-sin x
  1. Derivada segunda: derivando -sin x,
ddxl(-sin xr)=-cos x
Portanto,
d^2dx^2l(cos xr)=-cos x,
ou seja, cos''(x)=-1cdotcos x. A constante de proporcionalidade também é k=-1.

Passo 4

Finalmente, a segunda derivada de e^x.
  1. Derivada primeira:
ddxl(e^xr)=e^x
  1. Derivada segunda: derivando de novo e^x,
ddxl(e^xr)=e^x
Logo
d^2dx^2l(e^xr)=e^x,
ou seja, (e^x)''=1cdot e^x. A constante de proporcionalidade é k=1.

Resposta

– Para sin x: sin''(x)=-1cdotsin x.
– Para cos x: cos''(x)=-1cdotcos x.
– Para e^x: (e^x)''=1cdot e^x.
Isso mostra que todas são proporcionais às suas derivadas segundas.

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