Mostre que:
As funções seno, co-seno e exponencial são proporcionais à suas derivadas segundas.
As funções seno, co-seno e exponencial são proporcionais à suas derivadas segundas.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra mostrar que as funções seno, cosseno e exponencial são “proporcionais” à sua derivada segunda.
Conteúdo: derivada e segunda derivada de funções elementares.
O que vamos precisar:
Conteúdo: derivada e segunda derivada de funções elementares.
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada (taxa de variação).
- Regras de derivação:
-
, -
, -
.
-
- Definição de proporcionalidade entre duas funções:
para alguma constante .
Passo 2
Primeiro, a segunda derivada de
.
- Derivada primeira:
- Derivada segunda: aplicando a derivada em
,
Juntando,
Ou seja,
. Logo o seno é proporcional à sua segunda derivada, com constante
.
Passo 3
Agora, a segunda derivada de
.
- Derivada primeira:
- Derivada segunda: derivando
,
Portanto,
ou seja,
. A constante de proporcionalidade também é
.
Passo 4
Finalmente, a segunda derivada de
.
- Derivada primeira:
- Derivada segunda: derivando de novo
,
Logo
ou seja,
. A constante de proporcionalidade é
.
Resposta
– Para
:
.
– Para :
.
– Para :
.
Isso mostra que todas são proporcionais às suas derivadas segundas.
– Para
– Para
Isso mostra que todas são proporcionais às suas derivadas segundas.