Mostre que:
No MHS, a aceleração é proporcional ao negativo do deslocamento, e as duas grandezas estão relacionadas pelo quadrado da frequência angular.

Passo 1

Resumo do enunciado: o objetivo é mostrar que, no Movimento Harmônico Simples (MHS), a aceleração é proporcional ao deslocamento com sinal invertido e que a constante de proporcionalidade é o quadrado da frequência angular.
Conteúdo: MHS e cálculo de derivadas de funções trigonométricas.
O que vamos precisar:
  • A forma geral de x(t) num MHS;
  • Definição de velocidade v(t)=dfracdxdt e aceleração a(t)=dfracd^2xdt^2;
  • Regra da cadeia para derivar cos(dots) e sin(dots).

Passo 2

Em MHS a posição varia como
x(t)=Acosl(omega t+phir) ,
onde
  • A é a amplitude,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.
Para achar a(t), vamos derivar duas vezes:
  1. velocidade v(t)=dfracdxdt;
  2. aceleração a(t)=dfracdvdt=dfracd^2xdt^2.
Regra da cadeia: se g(t)=cos(u(t)), então
g'(t)=-sinl(u(t)r)cdot u'(t)

Passo 3

  1. Primeira derivada (velocidade):
v(t)=dxdt =ddtl[Acos(omega t+phi)r] =Al[-sin(omega t+phi)cdotomegar] =-A,omega,sin(omega t+phi)
  1. Segunda derivada (aceleração):
a(t)=d^2xdt^2 =dvdt =ddtl[-Aomegasin(omega t+phi)r] =-Aomegal[cos(omega t+phi)cdotomegar] =-A,omega^2,cos(omega t+phi)
Repare que Acos(omega t+phi)=x(t). Então
a(t)=-omega^2,x(t) ,
ou seja, a aceleração é proporcional a -x e a constante de proporcionalidade é omega^2.

Resposta

a(t) = -,omega^2,x(t)

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