Mostre que para variáveis aleatórias discretas,
E X=sumk=1^infty xk P(x=xk)
se a série é absolutamente convergente

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma variável discreta X que assume valores x_k com probabilidades P(X = x_k), temos E[X] = ∑_{k=1}^∞ x_k P(X = x_k), desde que a série ∑_{k=1}^∞ |x_k| P(X = x_k) seja convergente. Esse resultado usa o conceito de esperança como integral em teoria de medida e o Teorema de Tonelli.

Passo 2

Definimos p_k = P(X = x_k). Como X é discreta, os eventos A_k = {X = x_k} formam uma partição de Ω, e X é constante igual a x_k em A_k. Portanto, pela definição de integral de Lebesgue para funções simples, temos
E[X] = integralΩ X,dP = sumk=1^∞ integralAk X,dP

Passo 3

Como X(ω) = x_k para ω ∈ A_k, cada integral fica
integralAk X,dP = integralAk xk,dP = xk ;P(Ak) = xk,pk
Substituindo na soma, obtemos
E[X] = sumk=1^∞ xk,pk

Passo 4

Precisamos garantir que podemos trocar soma e integral e que E[X] existe. Como supomos que
sumk=1^∞ |xk|,pk < ∞,
pelo Teorema de Tonelli a função |X| é integrável e
integralΩ |X|,dP = sumk=1^∞ |xk|,pk < ∞
Isso assegura que X ∈ L^1 e portanto E[X] está bem definido e a série ∑ x_k p_k converge absolutamente.

Passo 5

Concluímos que, sob a condição de convergência absoluta da série, a esperança de X é dada por
E[X] = sumk=1^∞ xk,P(X = xk)

Resposta

E[X] = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k,P(X = x_k)

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