Mostre que para variáveis aleatórias discretas,
se a série é absolutamente convergente
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma variável discreta X que assume valores x_k com probabilidades P(X = x_k), temos E[X] = ∑_{k=1}^∞ x_k P(X = x_k), desde que a série ∑_{k=1}^∞ |x_k| P(X = x_k) seja convergente. Esse resultado usa o conceito de esperança como integral em teoria de medida e o Teorema de Tonelli.
Passo 2
Definimos p_k = P(X = x_k). Como X é discreta, os eventos A_k = {X = x_k} formam uma partição de Ω, e X é constante igual a x_k em A_k. Portanto, pela definição de integral de Lebesgue para funções simples, temos
Passo 3
Como X(ω) = x_k para ω ∈ A_k, cada integral fica
Substituindo na soma, obtemos
Passo 4
Precisamos garantir que podemos trocar soma e integral e que E[X] existe. Como supomos que
pelo Teorema de Tonelli a função |X| é integrável e
Isso assegura que X ∈ L^1 e portanto E[X] está bem definido e a série ∑ x_k p_k converge absolutamente.
Passo 5
Concluímos que, sob a condição de convergência absoluta da série, a esperança de X é dada por
Resposta
E[X] = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k,P(X = x_k)