1. Um cilindro de comprimento 4 L, formado pela colagem axissimétrica de 4 cilindros de materiais diferentes, flutua com 70 \% do seu volume submerso em um líquido estático contido num recipiente. A densidade dos materiais atende a uma progressão aritmética, sendo a parte mais leve com densidade \rho e a mais pesada com densidade 7 \rho. Calcule a densidade do líquido. Depois de descoladas as 4 partes, qual será o percentual submerso de cada uma? São dados do problema L e \rho.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro formado por quatro trechos de comprimentos iguais L e área de seção A, unidos de maneira coaxial. As densidades desses quatro materiais seguem uma progressão aritmética, com o menor valor \rho e o maior 7\rho. O cilindro inteiro flutua com 70\% do volume submerso em um líquido desconhecido de densidade \rho_{\ell}. Precisamos (a) determinar \rho_{\ell} e (b) achar o percentual de imersão de cada trecho quando eles flutuarem separadamente.

Passo 2

Como são quatro densidades em progressão aritmética de primeiro termo \rho e último termo 7\rho, a razão é
d = \frac{7\rho - \rho}{3} = 2\rho.
Logo, as densidades dos quatro segmentos são, respectivamente,
\rho_1 = \rho,\quad \rho_2 = \rho + 2\rho = 3\rho,\quad \rho_3 = 3\rho + 2\rho = 5\rho,\quad \rho_4 = 5\rho + 2\rho = 7\rho.

Passo 3

Cada trecho tem volume V_0 = A\,L, então o volume total é
V = 4\,A\,L.
A massa total é
M = A\,L\bigl(\rho_1 + \rho_2 + \rho_3 + \rho_4\bigr) = A\,L\bigl(\rho + 3\rho + 5\rho + 7\rho\bigr) = 16\,A\,L\,\rho.
Logo a densidade média do cilindro composto é
\rho_{\rm comp} = \frac{M}{V} = \frac{16\,A\,L\,\rho}{4\,A\,L} = 4\,\rho.

Passo 4

Pela condição de flutuação com 70\% do volume submerso, aplicamos o Princípio de Arquimedes:
\rho_{\ell}\,(0{,}70\,V)=\rho_{\rm comp}\,V \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\ell} = \frac{\rho_{\rm comp}}{0{,}70} = \frac{4\,\rho}{0{,}70} = \frac{40}{7}\,\rho.

Passo 5

Quando cada segmento flutua isoladamente, a fração do seu volume submerso é \rho_i/\rho_{\ell}. Em porcentagem:
\begin{aligned} \text{para }\rho_1=\rho: & \quad \frac{\rho}{\tfrac{40}{7}\rho}\times100\% = \frac{7}{40}\times100\%=17{,}5\%,\\\ \text{para }\rho_2=3\rho: & \quad \frac{3\rho}{\tfrac{40}{7}\rho}\times100\% = \frac{21}{40}\times100\%=52{,}5\%,\\\ \text{para }\rho_3=5\rho: & \quad \frac{5\rho}{\tfrac{40}{7}\rho}\times100\% = \frac{35}{40}\times100\%=87{,}5\%,\\\ \text{para }\rho_4=7\rho: & \quad \frac{7\rho}{\tfrac{40}{7}\rho}\times100\% = \frac{49}{40}\times100\%=122{,}5\%\\ (\text{>100\%, afunda}). \end{aligned}
Como não pode ficar mais de 100\% imerso, o segmento de densidade 7\rho afunda totalmente.

Resposta

A densidade do líquido é
\rho_{\ell} = \frac{40}{7}\,\rho.
Separadamente, os percentuais de imersão são:
17{,}5\%,\quad 52{,}5\%,\quad 87{,}5\%,\quad 100\%\\ (\text{o último afunda}).ú

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