- Um cilindro de comprimento
, formado pela colagem axissimétrica de 4 cilindros de materiais diferentes, flutua com
do seu volume submerso em um líquido estático contido num recipiente. A densidade dos materiais atende a uma progressão aritmética, sendo a parte mais leve com densidade
e a mais pesada com densidade
. Calcule a densidade do líquido. Depois de descoladas as 4 partes, qual será o percentual submerso de cada uma? São dados do problema
e
.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro formado por quatro trechos de comprimentos iguais
e área de seção
, unidos de maneira coaxial. As densidades desses quatro materiais seguem uma progressão aritmética, com o menor valor
e o maior
. O cilindro inteiro flutua com
do volume submerso em um líquido desconhecido de densidade
. Precisamos (a) determinar
e (b) achar o percentual de imersão de cada trecho quando eles flutuarem separadamente.
Passo 2
Como são quatro densidades em progressão aritmética de primeiro termo
e último termo
, a razão é
Logo, as densidades dos quatro segmentos são, respectivamente,
Passo 3
Cada trecho tem volume
, então o volume total é
A massa total é
Logo a densidade média do cilindro composto é
Passo 4
Pela condição de flutuação com
do volume submerso, aplicamos o Princípio de Arquimedes:
Passo 5
Quando cada segmento flutua isoladamente, a fração do seu volume submerso é
. Em porcentagem:
Como não pode ficar mais de
imerso, o segmento de densidade
afunda totalmente.
Resposta
A densidade do líquido é
Separadamente, os percentuais de imersão são: