Exemplo: Aqui, vamos provar rigorosamente que
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{1}{x-3}=+\infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, de forma rigorosa, que
\lim_{x\to3^{+}}\frac{1}{x-3}=+\infty.
Para isso vamos usar a definição de limite infinita à direita: mostrar que, dado qualquer M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<x-3<\delta, então \tfrac{1}{x-3}>M.

Passo 2

Pela definição de limite infinita à direita, devemos encontrar, para um dado M>0, um \delta>0 satisfazendo
0<x-3<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x-3}>M.

Passo 3

A condição \tfrac{1}{x-3}>M é equivalente a
x-3<\frac{1}{M},
pois x-3>0 no limite à direita. Logo, basta escolher
\delta=\frac{1}{M}.
Então, sempre que 0<x-3<\delta teremos automaticamente \tfrac{1}{x-3}>M.

Passo 4

Concluímos que, para qualquer M>0, ao escolher \delta=1/M vale
0<x-3<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x-3}>M,
o que confirma, pela definição, que
\lim_{x\to3^{+}}\frac{1}{x-3}=+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3^{+}}\frac{1}{x-3}=+\infty

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