Seja a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y,-2 x-y).
Determine uma base e a dimensão do subespaço Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (2x + y, 3x + 2y, -2x - y) . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e a dimensão do subespaço imagem de T , que é chamado de Im(T) . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Como T vai de R^2 para R^3 , a matriz que representa T terá 3 linhas e 2 colunas. Cada coluna da matriz é a imagem dos vetores da base padrão de R^2 .
Então, vamos montar a matriz A correspondente a T :
A = 2 & 1 3 & 2 -2 & -1
Aqui, a primeira coluna 2 3 -2 é T(1, 0) e a segunda coluna 1 2 -1 é T(0, 1) .

Passo 3

Agora, para encontrar a imagem de T , que é Im(T) , precisamos ver quais combinações lineares das colunas de A podem gerar os vetores em R^3 . Basicamente, Im(T) é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A .
Então, queremos saber se as colunas de A são linearmente independentes. Se forem, elas já formam uma base para Im(T) . Se não, precisamos encontrar uma combinação delas que seja independente.

Passo 4

Vamos verificar a independência linear das colunas de [A). Para isso, vamos montar o sistema:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver isso. Da primeira equação, podemos expressar (c_2 = -2c_1]. Substituindo na segunda equação:
E então, .
Como a única solução é trivial ( ), as colunas de são linearmente independentes.

Passo 5

Como as colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para Im(T) . Então, a base de Im(T) é:
2 3 -2 , 1 2 -1
A dimensão de Im(T) é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 2.

Resposta

A base de Im(T) é 2 3 -2 , 1 2 -1 e a dimensão de Im(T) é 2.

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