Seja a transformação linear dada por .
Determine uma base e a dimensão do subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base e a dimensão do subespaço imagem de , que é chamado de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, imagem de uma transformação e bases de subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Como vai de para , a matriz que representa terá 3 linhas e 2 colunas. Cada coluna da matriz é a imagem dos vetores da base padrão de .
Então, vamos montar a matriz correspondente a :
Aqui, a primeira coluna 2 3 -2 é T(1, 0) e a segunda coluna 1 2 -1 é T(0, 1) .
Passo 3
Agora, para encontrar a imagem de T , que é Im(T) , precisamos ver quais combinações lineares das colunas de A podem gerar os vetores em R^3 . Basicamente, Im(T) é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A .
Então, queremos saber se as colunas de A são linearmente independentes. Se forem, elas já formam uma base para Im(T) . Se não, precisamos encontrar uma combinação delas que seja independente.
Passo 4
Vamos verificar a independência linear das colunas de [A). Para isso, vamos montar o sistema:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver isso. Da primeira equação, podemos expressar (c_2 = -2c_1]. Substituindo na segunda equação:
E então, .
Como a única solução é trivial (), as colunas de são linearmente independentes.
Passo 5
Como as colunas são linearmente independentes, elas formam uma base para Im(T) . Então, a base de Im(T) é:
2 3 -2 , 1 2 -1
A dimensão de Im(T) é igual ao número de vetores na base, que nesse caso é 2.
Resposta
A base de Im(T) é 2 3 -2 , 1 2 -1 e a dimensão de Im(T) é 2.