Seja W=(x, y) in R^2 / x+y=0. Verifique se W é um subespaço vetorial do R^2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W = (x,y)inR^2 mid x+y=0
e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de R^2. Para isso vamos checar:
  1. se o vetor zero está em W,
  2. se W é fechado sob adição,
  3. se W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0) pertence a W. Como
0 + 0 = 0,
temos (0,0)in W. Portanto, o vetor zero está em W.

Passo 3

Verificar fechadura sob adição. Se (x1,y1)in W e (x2,y2)in W, então
x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0
A soma é (x1+x2,;y1+y2) e
(x1+x2) + (y1+y2) = (x1+y1) + (x2+y2) = 0 + 0 = 0
Logo (x1+x2,,y1+y2)in W, provando a fechadura sob adição.

Passo 4

Verificar fechadura sob multiplicação escalar. Seja (x,y)in W com x+y=0 e alphainR. O produto escalar é alpha(x,y) = (alpha x,alpha y) e
alpha x + alpha y = alpha,(x+y) = alpha cdot 0 = 0
Portanto (alpha x,alpha y)in W, mostrando a fechadura sob escalares.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de R^2. Além disso, W é a reta de equação y=-x, tem dimensão 1 e uma base é (1,-1).

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