[11/2 Pontos] Calcule a integral:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2+5 x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2+5x^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição (método de u-substituição), pois o denominador é 2+5x^3 e sua derivada está presente no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + 5x^{3}.
Então
du = 15x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{15}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \frac{x^{2}}{2+5x^{3}}\,dx, temos
\int \frac{x^{2}}{u}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\bigl(\tfrac{1}{15}\,du\bigr) = \frac{1}{15} \int \frac{du}{u}.

Passo 4

A integral fica
\frac{1}{15}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{15}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando aos limites de x: quando x=0, u=2; quando x=1, u=7. Portanto,
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2+5x^{3}}\,dx = \frac{1}{15}\bigl[\ln(7)-\ln(2)\bigr] = \frac{1}{15}\ln\!\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr).

Resposta

\frac{1}{15}\ln\!\bigl(\tfrac{7}{2}\bigr).

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