Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
g(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<2 \\\\ 2-x & \text { se } 2<x<4\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de g(x) num período de comprimento 4, e depois obter a série de Fourier da extensão periódica de período T=4. Vamos usar a definição de série de Fourier para função de período T, com frequência fundamental \omega_0 = \tfrac{2\pi}{T} = \tfrac{\pi}{2}, e calcular
a_0,\quad a_n = \frac{2}{T}\int_0^T g(x)\cos(n\omega_0 x)\,dx,\quad b_n = \frac{2}{T}\int_0^T g(x)\sin(n\omega_0 x)\,dx.

Passo 2

No intervalo [0,4], a função g(x) vale g(x)=x para 0<x<2 (reta que vai de (0,0) a (2,2)) e vale g(x)=2-x para 2<x<4 (reta que no ponto à direita de 2 está em (2,0) e vai decrescendo até (4,-2)). Ao repetir esse padrão a cada 4 unidades, obtemos um “triângulo” acima do eixo em [0,2] e um “triângulo” simétrico abaixo do eixo em [2,4], repetidos periodicamente.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas das componentes da série de Fourier (com T=4 e \omega_0=\tfrac{\pi}{2}):
a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T g(x)\,dx,
a_n = \frac{2}{T}\int_0^4 g(x)\cos\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx,
b_n = \frac{2}{T}\int_0^4 g(x)\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx.

Passo 4

Cálculo de a_0:
\int_0^4 g(x)\,dx = \int_0^2 x\,dx + \int_2^4 (2-x)\,dx = \frac{2^2}{2} + \Bigl[(2x-\tfrac{x^2}{2})\Bigr]_2^4 =2 + (0-2)=0.
Logo
a_0 = \frac{1}{4}\cdot0 = 0.

Passo 5

Cálculo de a_n. Escrevemos
\int_0^4 g(x)\cos\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx = \int_0^2 x\cos\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx + \int_2^4 (2-x)\cos\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx.
Fazendo integração por partes em \int_0^2 x\cos(\dots)\,dx e usando mudança de variável em \int_2^4(2-x)\cos(\dots)\,dx, obtém-se
\int_0^4 g(x)\cos\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx =\begin{cases} -\dfrac{16}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\[6pt] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
Portanto
a_n = \frac{2}{4}\times \begin{cases} -\dfrac{8}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases} = \begin{cases} -\dfrac{8}{n^2\pi^2},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}íí]

Passo 6

Cálculo de b_n. Analogamente,
\int_0^4 g(x)\sin\bigl(n\tfrac{\pi}{2}x\bigr)\,dx =\begin{cases} \dfrac{8}{n\pi},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}í
Logo
b_n = \frac{2}{4}\times \begin{cases} \dfrac{8}{n\pi},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases} = \begin{cases} \dfrac{4}{n\pi},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}íí

Passo 7

Substituindo em
g(x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega_0 x)+b_n\sin(n\omega_0 x)\bigr],
com \omega_0=\tfrac{\pi}{2}, ficamos com soma só nos n=2m+1:
g(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl[ -\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\cos\bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}x\bigr) +\frac{4}{(2m+1)\pi}\sin\bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}x\bigr) \Bigr].

Resposta

g(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl[ -\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\cos\!\Bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}x\Bigr) +\frac{4}{(2m+1)\pi}\sin\!\Bigl((2m+1)\tfrac{\pi}{2}x\Bigr) \Bigr].

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