Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
g(x)= \begin{cases}x & \text { se } 0<x<2 \\\\ 2-x & \text { se } 2<x<4\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de g(x) num período de comprimento 4, e depois obter a série de Fourier da extensão periódica de período T=4. Vamos usar a definição de série de Fourier para função de período T, com frequência fundamental \omega_0 = \tfrac{2\pi}{T} = \tfrac{\pi}{2}, e calcular
No intervalo [0,4], a função g(x) vale g(x)=x para 0<x<2 (reta que vai de (0,0) a (2,2)) e vale g(x)=2-x para 2<x<4 (reta que no ponto à direita de 2 está em (2,0) e vai decrescendo até (4,-2)). Ao repetir esse padrão a cada 4 unidades, obtemos um “triângulo” acima do eixo em [0,2] e um “triângulo” simétrico abaixo do eixo em [2,4], repetidos periodicamente.
Passo 3
Escrevemos as fórmulas das componentes da série de Fourier (com T=4 e \omega_0=\tfrac{\pi}{2}):