Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization
of the function at that point.
II.
II.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (i) explicar por que
é diferenciável em
e (ii) encontrar a linearização
em
. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e aproximação linear por meio da primeira aproximação de Taylor.
Passo 2
Para ver que
é diferenciável em
, note que
é o produto de duas funções:
, que é diferenciável em
, e
, que é diferenciável para
. Como o ponto
tem
, cada fator é diferenciável em um entorno de
e, portanto, o produto também é diferenciável ali.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Em
temos
e
e
Passo 4
O valor da função no ponto é
A fórmula da linearização em
é
Passo 5
Substituindo os valores encontrados, obtemos
Opcionalmente, podemos expandir para
Resposta
A função é diferenciável em
pois é produto de funções diferenciáveis num entorno desse ponto. A linearização é