Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization L(x, y) of the function at that point.
II. f(x, y)=x \sqrt{y}, \quad(1,4)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x\sqrt{y}
e pede (i) explicar por que f é diferenciável em (1,4) e (ii) encontrar a linearização L(x,y) em (1,4). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e aproximação linear por meio da primeira aproximação de Taylor.

Passo 2

Para ver que f é diferenciável em (1,4), note que f(x,y) é o produto de duas funções:
\,x, que é diferenciável em \R, e \sqrt{y}, que é diferenciável para y>0. Como o ponto (1,4) tem 4>0, cada fator é diferenciável em um entorno de (1,4) e, portanto, o produto também é diferenciável ali.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\sqrt{y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{x}{2\sqrt{y}}.
Em (1,4) temos
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,4)=\sqrt{4}=2
e
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,4)=\frac{1}{2\cdot2}=\frac14.

Passo 4

O valor da função no ponto é
f(1,4)=1\cdot\sqrt{4}=2.
A fórmula da linearização em (1,4) é
L(x,y) =f(1,4)+f_x(1,4)\,(x-1)+f_y(1,4)\,(y-4).

Passo 5

Substituindo os valores encontrados, obtemos
L(x,y) =2 + 2\,(x-1) + \frac14\,(y-4).
Opcionalmente, podemos expandir para
L(x,y)=2x + \frac{y}{4} - 1.

Resposta

A função é diferenciável em (1,4) pois é produto de funções diferenciáveis num entorno desse ponto. A linearização é
L(x,y)=2 + 2(x-1) + \frac14(y-4).

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