Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization
of the function at that point.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, a seguir, determinar a linearização
nesse ponto. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e a construção da aproximação linear usando derivadas parciais.
Passo 2
Uma função polinomial em
e
tem derivadas parciais de todas as ordens e estas são contínuas em todo
. Logo
, o que implica que
é diferenciável em qualquer ponto, em particular em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais gerais:
Em
temos
além de
Passo 4
A fórmula da linearização de
em
é
Substituindo os valores encontrados:
Podemos distribuir e simplificar em
Resposta
ou, de forma equivalente,