Explain why the function is differentiable at the given point. Then find the linearization L(x, y) of the function at that point.
f(x, y)=x^{3} y^{4}, \quad(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=x^{3}y^{4}
é diferenciável em (1,1) e, a seguir, determinar a linearização L(x,y) nesse ponto. O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e a construção da aproximação linear usando derivadas parciais.

Passo 2

Uma função polinomial em x e y tem derivadas parciais de todas as ordens e estas são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Logo f\in C^1(\mathbb{R}^2), o que implica que f é diferenciável em qualquer ponto, em particular em (1,1).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais gerais:
f_x(x,y)=3x^2y^4, \quad f_y(x,y)=4x^3y^3.
Em (1,1) temos
f_x(1,1)=3\cdot1^2\cdot1^4=3, \qquad f_y(1,1)=4\cdot1^3\cdot1^3=4,
além de
f(1,1)=1^3\cdot1^4=1.

Passo 4

A fórmula da linearização de f em (1,1) é
L(x,y)=f(1,1)+f_x(1,1)\,(x-1)+f_y(1,1)\,(y-1).
Substituindo os valores encontrados:
L(x,y)=1+3\,(x-1)+4\,(y-1).
Podemos distribuir e simplificar em
L(x,y)=3x+4y-6.

Resposta

L(x,y)=1+3(x-1)+4(y-1)
ou, de forma equivalente,
L(x,y)=3x+4y-6.

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