[11 / 2 Pontos ] Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}
Esse é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de \operatorname{sen}(x) centrada em 0 até a ordem x^{3} é
\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}),
onde o(x^{4}) representa termos de ordem superior (que tendem a zero mais rápido que x^{4} quando x\to0).

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador:
x - \operatorname{sen}(x) = x -\biggl(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})\biggr) = \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}).

Passo 4

Logo, o quociente fica
\frac{x-\operatorname{sen}(x)}{x^{3}} = \frac{\frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})}{x^{3}} = \frac{1}{6} + o(x),
e, ao fazer x\to0, o termo o(x) some, restando \tfrac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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