Questão. (2,5 pts) Calcule as integrais.
\int_{0}^{2} \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4 x}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{2} \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}\,dx.
O conteúdo é reconhecimento de que o numerador coincide com a derivada do radical do denominador, o que sugere usar a regra da cadeia e uma “substituição” implícita.

Passo 2

Vamos verificar que
u(x)=\sqrt{x^{2}+4x}
satisfaz
u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+4x}}\cdot(2x+4) = \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}.
Ou seja, o integrando é exatamente u'(x).

Passo 3

Como a integral de uma derivada é a própria função, temos
\int_{0}^{2} \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x}}\,dx = \bigl[u(x)\bigr]_{0}^{2} = \sqrt{2^{2}+4\cdot2} \;-\;\sqrt{0^{2}+4\cdot0} = \sqrt{12}-0 = 2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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