(11 pontos) Encontre o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=x \overrightarrow{\mathbf{i}}+y \overrightarrow{\mathbf{j}}+z \overrightarrow{\mathbf{k}} através da superfície S formada pelas faces do cubo
R=\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1\}
e orientada pelo normal apontando para fora do cubo.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
\vec F(x,y,z)=x\,\overrightarrow{\mathbf i}+y\,\overrightarrow{\mathbf j}+z\,\overrightarrow{\mathbf k}
através de toda a superfície S que é o contorno do cubo
R=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\},
com orientação normal para fora. Para resolver de forma rápida e direta, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss).

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec F. Lembrando que
\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z),
temos
\nabla\cdot\vec F=1+1+1=3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec F através de S=\partial R é igual ao integral triplo da divergência sobre o volume R:
\iint_{S}\vec F\cdot\mathbf n\,dS \;=\;\iiint_{R}(\nabla\cdot\vec F)\,dV.

Passo 4

Substituindo \nabla\cdot\vec F=3 no integral, e sabendo que o volume de R é 1, obtemos
\iiint_{R}3\,dV = 3 \,\iiint_{R}dV = 3\cdot 1 = 3.

Resposta

O fluxo de \vec F através de S é 3.

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