Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-5}^{5}\left(\left(x^{5}-7 x^{3}+18 \operatorname{sen}\left(x^{3}\right)\right)^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede
\int_{-5}^{5}\Bigl(\bigl(x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3})\bigr)^{3}+\frac{x+1}{x^{2}+5}\Bigr)\,dx
e o conteúdo principal aqui é usar simetria de funções pares e ímpares para simplificar a integral.

Passo 2

Defina
f(x)=\bigl(x^{5}-7x^{3}+18\operatorname{sen}(x^{3})\bigr)^{3}.
Note que x^{5}, x^{3} e \operatorname{sen}(x^{3}) são todos funções ímpares. A soma de ímpares é ímpar, e o cubo de uma função ímpar continua sendo ímpar. Portanto f(x) é ímpar.

Passo 3

Para função ímpar f vale
\int_{-5}^{5}f(x)\,dx=0.

Passo 4

Defina
g(x)=\frac{x+1}{x^{2}+5}.
Podemos decompor
g(x)=\frac{x}{x^{2}+5}+\frac{1}{x^{2}+5}.
Aqui \tfrac{x}{x^{2}+5} é ímpar e \tfrac{1}{x^{2}+5} é par. A integral de uma parte ímpar em [-5,5] é zero, sobrando apenas a parte par.

Passo 5

Logo
\int_{-5}^{5}g(x)\,dx =\int_{-5}^{5}\frac{dx}{x^{2}+5} =2\int_{0}^{5}\frac{dx}{x^{2}+5}.
Usando
\int\frac{dx}{x^{2}+5} =\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt5}\bigr),
temos
\int_{0}^{5}\frac{dx}{x^{2}+5} =\frac{1}{\sqrt5}\arctan\!\bigl(\tfrac{5}{\sqrt5}\bigr) =\frac{1}{\sqrt5}\arctan(\sqrt5).

Passo 6

Multiplicando por 2,
2\int_{0}^{5}\frac{dx}{x^{2}+5} =\frac{2}{\sqrt5}\arctan(\sqrt5).

Resposta

\frac{2}{\sqrt5}\,\arctan\bigl(\sqrt5\bigr)

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