( 12 pontos) Encontre a circulação do campo
ao longo de uma curva
, que é o bordo de uma superfície suave orientável
que não intercepta o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a circulação
onde
e
é o bordo de uma superfície suave orientável
que não intercepta o eixo
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo ao fluxo do seu rotor pela superfície que ele bordeja.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo ao fluxo do seu rotor pela superfície que ele bordeja.
Passo 2
Vamos verificar se
é de classe
em toda parte de
. Como
não intercepta o eixo
, temos
em
, logo
e suas derivadas parciais existem e são contínuas em
. Portanto podemos aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 3
Calculemos o rotor de
. Denotando
temos
As componentes dão
.
Uma conta direta mostra
Uma conta direta mostra
de modo que
Logo
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
Resposta
A circulação de
ao longo de
é
.