( 12 pontos) Encontre a circulação do campo
\vec{B}(x, y, z)=\overrightarrow{\mathbf{i}}+\frac{-z}{y^{2}+z^{2}} \overrightarrow{\mathbf{j}}+\frac{y}{y^{2}+z^{2}} \overrightarrow{\mathbf{k}}
ao longo de uma curva C, que é o bordo de uma superfície suave orientável S que não intercepta o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
\oint_{C}\vec B\cdot d\vec r
onde
\vec B(x,y,z)=\mathbf{i}+\frac{-z}{y^{2}+z^{2}}\mathbf{j}+\frac{y}{y^{2}+z^{2}}\mathbf{k}
e C=\partial S é o bordo de uma superfície suave orientável S que não intercepta o eixo x.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo ao fluxo do seu rotor pela superfície que ele bordeja.

Passo 2

Vamos verificar se \vec B é de classe C^1 em toda parte de S. Como S não intercepta o eixo x, temos y^2+z^2\neq0 em S, logo \vec B e suas derivadas parciais existem e são contínuas em S. Portanto podemos aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 3

Calculemos o rotor de \vec B. Denotando
\vec B=(B_x,B_y,B_z) \quad\text{com}\quad B_x=1,\; B_y=-\frac{z}{y^2+z^2},\; B_z=\frac{y}{y^2+z^2},
temos
\curl\vec B =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\\ 1 & -\dfrac{z}{y^2+z^2} & \dfrac{y}{y^2+z^2} \end{vmatrix}.
As componentes dão \bigl(\partial_y B_z-\partial_z B_y,\;\dots,\;\dots\bigr).
Uma conta direta mostra
\partial_y\!\Bigl(\tfrac{y}{y^2+z^2}\Bigr) =\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2}, \quad \partial_z\!\Bigl(-\tfrac{z}{y^2+z^2}\Bigr) =\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2},
de modo que
\partial_y B_z-\partial_z B_y=0, \quad \partial_z B_x-\partial_x B_z=0, \quad \partial_x B_y-\partial_y B_x=0.
Logo
\curl\vec B=\mathbf{0} \quad\text{em toda parte de }S.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{C}\vec B\cdot d\vec r =\iint_{S}(\curl\vec B)\cdot d\vec S =\iint_{S}\mathbf{0}\cdot d\vec S =0.

Resposta

A circulação de \vec B ao longo de C é 0.

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