( 35 pontos) Calcule a média de f(x, y, z)=\left|3 y z+2 y^{2}\right| sobre o sólido delimitado por 0 \leq y e
\frac{(x+3 z+2 y)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{(3 z+2 y)^{2}}{25} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede a média de
f(x,y,z)=\bigl|3yz+2y^2\bigr|
sobre o sólido V definido por y\ge0 e
\frac{(x+3z+2y)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{(3z+2y)^{2}}{25}\le1.
Para resolver, vamos usar mudança linear de variáveis que leva V a meio-esfera de raio 1, calcular o jacobiano, a integral de f e o volume, e então achar a média
\text{média}=\frac{1}{\mathrm{Vol}(V)}\int_{V}f\,dV.é

Passo 2

Defina
u=\frac{x+3z+2y}{2},\quad v=\frac{y}{3},\quad w=\frac{3z+2y}{5}.
Invertendo:
y=3v,\quad z=\frac{5w-6v}{3},\quad x=2u-5w.
O jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) é
J=\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=10,
logo dV=10\,du\,dv\,dw.

Passo 3

A condição
\frac{(x+3z+2y)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{(3z+2y)^{2}}{25}\le1
vira u^2+v^2+w^2\le1. Como y\ge0 implica v\ge0, a região em (u,v,w) é a meia-esfera de raio 1.
O volume de \{u^2+v^2+w^2\le1,\;v\ge0\} é metade do volume da bola unitária, ou seja
\mathrm{Vol}(V) =10\cdot\frac12\cdot\frac{4\pi}{3} =\frac{20\pi}{3}.

Passo 4

Na nova variável,
3yz+2y^2 =3\cdot(3v)\cdot\frac{5w-6v}{3}+2\,(3v)^2 =15\,v\,w,
logo
f=|15vw| \quad\text{e}\quad dV=10\,du\,dv\,dw \;\Longrightarrow\; \int_V f\,dV =150\int_{u^2+v^2+w^2\le1,\;v\ge0}|v\,w|\,du\,dv\,dw.
Como o integrando não depende de u, fazemos primeiro
\int_{-\,\sqrt{1-v^2-w^2}}^{\sqrt{1-v^2-w^2}}du =2\sqrt{1-v^2-w^2},
ficando
\int_V f\,dV =300\iint_{v\ge0,\;v^2+w^2\le1}|v\,w|\sqrt{1-v^2-w^2}\,dv\,dw.

Passo 5

Use coordenadas polares no plano (v,w):
v=r\cos\theta,\; w=r\sin\theta,\; r\in[0,1],\;\theta\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr].
Temos |v\,w|=r^2|\sin\theta\cos\theta|, \sqrt{1-v^2-w^2}=\sqrt{1-r^2} e Jacobiano r\,dr\,d\theta. Assim
\int_V f\,dV =300\int_{0}^{1}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2|\sin\theta\cos\theta|\sqrt{1-r^2}\,r\,d\theta\,dr.
O integral em \theta dá 1, e
\int_{0}^{1}r^3\sqrt{1-r^2}\,dr =\frac{2}{15}.
Logo
\int_V f\,dV =300\cdot\frac{2}{15} =40.

Passo 6

A média de f sobre V vale
\frac{1}{\mathrm{Vol}(V)}\int_V f\,dV =\frac{40}{\tfrac{20\pi}{3}} =\frac{40\cdot3}{20\pi} =\frac{6}{\pi}.

Resposta

A média de f sobre o sólido é \displaystyle \frac{6}{\pi}.

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