Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-1}^{2} x^{3} e^{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} x^{3} e^{x^{4}} \, dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição (método de mudança de variável).

Passo 2

Observamos que dentro do integrando há x^{4} no expoente e também x^{3} multiplicando. Sabendo que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=4x^{3},
fazemos a substituição
u = x^{4} \quad\Longrightarrow\quad du = 4x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração para a variável u:
quando x=-1,
u = (-1)^{4} = 1;
quando x=2,
u = 2^{4} = 16.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int_{-1}^{2} x^{3} e^{x^{4}} \, dx = \int_{u=1}^{u=16} e^{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int_{1}^{16} e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é ela mesma, logo
\frac{1}{4} \int_{1}^{16} e^{u}\,du = \frac{1}{4}\bigl[e^{u}\bigr]_{1}^{16} = \frac{1}{4}\bigl(e^{16}-e^{1}\bigr).

Resposta

\int_{-1}^{2} x^{3} e^{x^{4}} \, dx = \frac{e^{16}-e}{4}.

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