[11] Seja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & 4 \\\\ 2 & 5 & -3 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right].
(a) Calculate the transpose of \mathbf{A}^{-1} and the inverse of \mathbf{A}^{\mathrm{t}}.
e pede duas coisas: calcular (1) a transposta de \mathbf{A}^{-1}, ou seja \big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}}, e (2) a inversa de \mathbf{A}^{\mathrm{t}}, ou seja \big(\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\big)^{-1}. Essas são as duas respostas que precisamos apresentar.]
Passo 2
Vou lembrar um fato muito útil (e simples) sobre transposta e inversa de matrizes, porque isso já resolve a relação entre as duas quantidades pedidas: se \mathbf{A} é invertível então
Então, basta calcular \mathbf{A}^{-1} e transpor, ou então calcular a inversa da transposta — ambas dão o mesmo resultado. Vou calcular \mathbf{A}^{-1} explicitamente por eliminação de Gauss-Jordan e depois transpor.
Passo 3
Formo a matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]: