[11] Seja \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}6 & 1 & 4 \\\\ 2 & 5 & -3 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right].
(a) Calculate the transpose of \mathbf{A}^{-1} and the inverse of \mathbf{A}^{\mathrm{t}}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}6 & 1 & 4 \\[4pt] 2 & 5 & -3 \\[4pt] 1 & 1 & 2\end{pmatrix}
e pede duas coisas: calcular (1) a transposta de \mathbf{A}^{-1}, ou seja \big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}}, e (2) a inversa de \mathbf{A}^{\mathrm{t}}, ou seja \big(\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\big)^{-1}. Essas são as duas respostas que precisamos apresentar.]

Passo 2

Vou lembrar um fato muito útil (e simples) sobre transposta e inversa de matrizes, porque isso já resolve a relação entre as duas quantidades pedidas: se \mathbf{A} é invertível então
(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1})^{\mathrm{t}} = \mathbf{I}^{\mathrm{t}} \Rightarrow (\mathbf{A}^{-1})^{\mathrm{t}}\mathbf{A}^{\mathrm{t}} = \mathbf{I}.
Isso mostra que (\mathbf{A}^{-1})^{\mathrm{t}} é inversa de \mathbf{A}^{\mathrm{t}}. Em outras palavras,
\boxed{\,\big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}}=\big(\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\big)^{-1}\,}
Então, basta calcular \mathbf{A}^{-1} e transpor, ou então calcular a inversa da transposta — ambas dão o mesmo resultado. Vou calcular \mathbf{A}^{-1} explicitamente por eliminação de Gauss-Jordan e depois transpor.

Passo 3

Formo a matriz aumentada [\mathbf{A}\mid \mathbf{I}]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 5 & -3 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Para facilitar, troco R_1 com R_3 (usar pivot 1):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 5 & -3 & 0 & 1 & 0 \\[4pt] 6 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

Elimino abaixo do pivô da primeira coluna: R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-6R_1. Fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 3 & -7 & 0 & 1 & -2 \\[4pt] 0 & -5 & -8 & 1 & 0 & -6 \end{array}\right]]

Passo 6

Normalizo o segundo pivô: R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\[4pt] 0 & -5 & -8 & 1 & 0 & -6 \end{array}\right]]

Passo 7

Elimino a coluna 2 acima e abaixo: R_1\leftarrow R_1-R_2 e R_3\leftarrow R_3+5R_2. Obtém-se
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{13}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3} \\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{59}{3} & 1 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{28}{3} \end{array}\right]]

Passo 8

Normalizo o terceiro pivô: R_3\leftarrow R_3\cdot\left(-\tfrac{3}{59}\right). Assim
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{13}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{3} \\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{7}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{2}{3} \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{59} & -\tfrac{5}{59} & \tfrac{28}{59} \end{array}\right]]

Passo 9

Elimino os elementos acima do terceiro pivô:
  • R_1\leftarrow R_1 - \tfrac{13}{3}R_3,
  • R_2\leftarrow R_2 + \tfrac{7}{3}R_3.
Depois dessas operações a parte esquerda vira a identidade e a parte direita passa a ser \mathbf{A}^{-1}. O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{13}{59} & \tfrac{2}{59} & -\tfrac{23}{59} \\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{7}{59} & \tfrac{8}{59} & \tfrac{26}{59} \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{3}{59} & -\tfrac{5}{59} & \tfrac{28}{59} \end{array}\right]
Portanto
\mathbf{A}^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{13}{59} & \tfrac{2}{59} & -\tfrac{23}{59} \\[4pt] -\tfrac{7}{59} & \tfrac{8}{59} & \tfrac{26}{59} \\[4pt] -\tfrac{3}{59} & -\tfrac{5}{59} & \tfrac{28}{59} \end{pmatrix}.
(Dica amiga: deu trabalho, eu sei — mas vale a pena checar multiplicando \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} e ver que dá a identidade.)]

Passo 10

Agora calculo a transposta de \mathbf{A}^{-1}: basta trocar linhas por colunas:
\big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}}= \begin{pmatrix} \tfrac{13}{59} & -\tfrac{7}{59} & -\tfrac{3}{59} \\[4pt] \tfrac{2}{59} & \tfrac{8}{59} & -\tfrac{5}{59} \\[4pt] -\tfrac{23}{59} & \tfrac{26}{59} & \tfrac{28}{59} \end{pmatrix}.]

Passo 11

Pelo fato provado no Passo 2, essa matriz é exatamente a inversa de \mathbf{A}^{\mathrm{t}}, ou seja
\big(\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\big)^{-1}=\big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}},
portanto ambas as respostas são a matriz do Passo 10.

Resposta

\big(\mathbf{A}^{-1}\big)^{\mathrm{t}}= \begin{pmatrix} \tfrac{13}{59} & -\tfrac{7}{59} & -\tfrac{3}{59} \\[4pt] \tfrac{2}{59} & \tfrac{8}{59} & -\tfrac{5}{59} \\[4pt] -\tfrac{23}{59} & \tfrac{26}{59} & \tfrac{28}{59} \end{pmatrix}
\big(\mathbf{A}^{\mathrm{t}}\big)^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{13}{59} & -\tfrac{7}{59} & -\tfrac{3}{59} \\[4pt] \tfrac{2}{59} & \tfrac{8}{59} & -\tfrac{5}{59} \\[4pt] -\tfrac{23}{59} & \tfrac{26}{59} & \tfrac{28}{59} \end{pmatrix}

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