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Questão: Uma família de curvas é definida por
. Determine a trajetória das curvas ortogonais a esta família.
Passo 1
Temos a família de curvas
. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem e trajetórias ortogonais, e vamos precisar derivar em relação a
, aplicar a condição de ortogonalidade (produto dos declives = –1) e resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Derivamos em relação a
e eliminamos a constante
:
Passo 3
Para as trajetórias ortogonais, o declive
deve satisfazer
. Como o declive original é
, o declive das ortogonais é
Passo 4
Escrevendo a equação diferencial das ortogonais e separando variáveis:
Passo 5
Integrando ambos os lados para achar a família das curvas ortogonais:
Passo 6
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por
.