11 ^ a Questão: Uma família de curvas é definida por y=C cos x. Determine a trajetória das curvas ortogonais a esta família.

Passo 1

Temos a família de curvas y = C cos x. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem e trajetórias ortogonais, e vamos precisar derivar em relação a x, aplicar a condição de ortogonalidade (produto dos declives = –1) e resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Derivamos em relação a x e eliminamos a constante C:
y = C cos x
dydx = -C sin x
C = ycos x
dydx = -ycos xsin x = -y tan x

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais, o declive m deve satisfazer mcdot mperp = -1. Como o declive original é -ytan x, o declive das ortogonais é
dydx = -1-ytan x = 1ytan x

Passo 4

Escrevendo a equação diferencial das ortogonais e separando variáveis:
y,dy = 1tan x,dx = cot x,dx

Passo 5

Integrando ambos os lados para achar a família das curvas ortogonais:
integral y,dy = integral cot x,dx
y^22 = ln|sin x| + K

Passo 6

Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
y^2 = 2ln|sin x| + C

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por y^2 = 2ln|sin x| + C.

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