1 2^ a Questão: Um problema clássico do eletromagnetismo é a distribuição radial do potencial elétrico entre duas esferas concêntricas, de raios R1 e R2, carregadas com potencial V1 e V2, respectivamente. O potencial V(R) a uma distância R do centro comum é dado pela solução de
d^2 Vd R^2+2R d Vd R=0 V(R1)=V1, V(R2)=V2
Resolva a e.d.o. e substitua as condições de contorno para mostrar que
V(R)=V2 R2(R-R1)-V1 R1(R-R2)R(R2-R1)

Passo 1

O enunciado pede para achar a distribuição radial do potencial elétrico entre duas esferas concêntricas, de raios R₁ e R₂, sujeitas a V(R₁)=V₁ e V(R₂)=V₂. O conteúdo principal é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas radiais, ou seja, a ODE
d^2VdR^2 + 2RdVdR = 0,
e depois aplicar as condições de contorno.

Passo 2

A equação pode ser reescrita usando a identidade
ddRl(R^2dVdRr) = R^2d^2VdR^2 + 2RdVdR = 0
Integrando uma vez em R, obtemos
R^2dVdR = C1,
onde C₁ é constante de integração. Então
dVdR = C1R^2
Integrando de novo, chega-se à solução geral

Passo 3

A solução geral da ODE é
V(R) = C2 - C1R,
onde C₂ é outra constante de integração. Agora aplicamos as condições de contorno:
V(R1) = C2 - C1R1 = V1,
V(R2) = C2 - C1R2 = V2

Passo 4

Subtraindo as duas equações, temos
C1R2 - C1R1 = V2 - V1 Longrightarrow C1l(1R2 - 1R1r)=V2-V1
Logo
C1 = (V2 - V1)1R2 - 1R1 = (V2 - V1)R1R2R1-R2 = (V1-V2)R1R2R2-R1
E de C₂, por exemplo,
C2 = V1 + C1R1

Passo 5

Finalmente, substituindo C₁ e C₂ em V®=C₂−C₁/R e simplificando, chega-se à forma desejada.

Resposta

V(R)=V2R2(R-R1)-V1R1(R-R2)R(R2-R1)

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