Questão: Um problema clássico do eletromagnetismo é a distribuição radial do potencial elétrico entre duas esferas concêntricas, de raios
e
, carregadas com potencial
e
, respectivamente. O potencial
a uma distância R do centro comum é dado pela solução de
Resolva a e.d.o. e substitua as condições de contorno para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para achar a distribuição radial do potencial elétrico entre duas esferas concêntricas, de raios R₁ e R₂, sujeitas a V(R₁)=V₁ e V(R₂)=V₂. O conteúdo principal é resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas radiais, ou seja, a ODE
e depois aplicar as condições de contorno.
Passo 2
A equação pode ser reescrita usando a identidade
Integrando uma vez em R, obtemos
onde C₁ é constante de integração. Então
Integrando de novo, chega-se à solução geral
Passo 3
A solução geral da ODE é
onde C₂ é outra constante de integração. Agora aplicamos as condições de contorno:
Passo 4
Subtraindo as duas equações, temos
Logo
E de C₂, por exemplo,
Passo 5
Finalmente, substituindo C₁ e C₂ em V®=C₂−C₁/R e simplificando, chega-se à forma desejada.