11^ a Questão

Sobre o sistema linear:
c 3 x-4 y+2 z-w=1 x-y+z=2 podemos afirmar que: y+z+w=5
I - se trata de um Sistema Possível e Determinado;
II - o posto da matriz relacionada ao sistema é 2 ;
III - se trata de um Sistema Impossível.
Assinale a opção correta.
(a) Todas as afirmativas estão corretas.
(b) Todas as afirmativas estão incorretas.
(c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
(d) Apenas a afirmativa II está correta.
(e) Apenas a afirmativa III está correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações linear. O assunto aqui é Sistemas Lineares e vamos precisar entender conceitos como sistema possível e determinado, posto da matriz e sistema impossível. Nosso objetivo é verificar quais das afirmações I, II e III estão corretas para o sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
l 3x - 4y + 2z - w = 1 x - y + z = 2 y + z + w = 5

Passo 3

Para entender se o sistema é possível e determinado, vamos verificar se há uma única solução. Para isso, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & -4 & 2 & -1 & | & 1 1 & -1 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 1 & 1 & | & 5

Passo 4

Vamos simplificar a matriz usando eliminação de Gauss. Primeiro, usamos a segunda equação para eliminar o x da primeira equação. Multiplicamos a segunda equação por 3 e subtraímos da primeira:
3(x - y + z) - (3x - 4y + 2z - w) = 3(2) - 1
3x - 3y + 3z - 3x + 4y - 2z + w = 6 - 1
y + z + w = 5
Interessante, essa é a terceira equação do sistema original. Isso indica que uma das equações é redundante.

Passo 5

Agora, temos duas equações independentes:
l x - y + z = 2 y + z + w = 5
Como temos mais incógnitas do que equações, o sistema não está determinado, ou seja, ele tem infinitas soluções. Portanto, o sistema é possível e indeterminado.

Passo 6

Vamos calcular o posto da matriz. O posto é o número de linhas não nulas na matriz escalonada.
Nossa matriz escalonada é:
1 & -1 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 1 & 1 & | & 5
Aqui, temos 2 linhas não nulas, então o posto da matriz é 2.

Passo 7

Analisando as afirmações:
  • I: Diz que o sistema é possível e determinado. Errado, pois o sistema é possível e indeterminado.
  • II: Diz que o posto da matriz é 2. Correto.
  • III: Diz que o sistema é impossível. Errado, pois o sistema é possível.

Resposta

(c) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.

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