Use o teorema das sequências monótonas para mostrar que as seguinte sequências são convergentes:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é convergente usando o Teorema das Sequências Monótonas, que afirma que toda sequência monotona e limitada possui limite finito. Precisamos mostrar que
é limitada inferiormente e decrescente a partir de algum
.
Passo 2
Observamos que para todo
,
Portanto
é limitada inferiormente (por zero).
Passo 3
Para investigar a monotonicidade, computamos o quociente entre termos consecutivos:
Queremos
, ou seja
e isso vale para todo
(pois as raízes de
são
). Logo, para
temos
, ou seja
é decrescente a partir de
.
Passo 4
Como
é decrescente a partir de
e limitada inferiormente por zero, o Teorema das Sequências Monótonas garante que ela converge.
Resposta
A sequência
é convergente (e, de fato, tem limite igual a
).