Use o teorema das sequências monótonas para mostrar que as seguinte sequências são convergentes:
(b) an=n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = n^22^n
é convergente usando o Teorema das Sequências Monótonas, que afirma que toda sequência monotona e limitada possui limite finito. Precisamos mostrar que (an) é limitada inferiormente e decrescente a partir de algum n.

Passo 2

Observamos que para todo ninN,
an = n^22^n > 0
Portanto (an) é limitada inferiormente (por zero).

Passo 3

Para investigar a monotonicidade, computamos o quociente entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^22^n+1n^22^n = (n+1)^22,n^2 = 12 + 1n + 12n^2
Queremos an+1an<1, ou seja
12 + 1n + 12n^2 < 1 Long<=ftrightarrow 1n + 12n^2 < 12 Long<=ftrightarrow n^2 -2n -1 > 0,
e isso vale para todo n >= 3 (pois as raízes de n^2 -2n -1=0 são 1pmraiz2approx2,4). Logo, para n >= 4 temos an+1<an, ou seja (an) é decrescente a partir de n=4.

Passo 4

Como (an) é decrescente a partir de n=4 e limitada inferiormente por zero, o Teorema das Sequências Monótonas garante que ela converge.

Resposta

A sequência an=n^22^n é convergente (e, de fato, tem limite igual a 0).

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