12^ a Questão

Sobre sistemas lineares é correto afirmar:
I - todo sistema linear admite, ao menos, uma solução;
II - um sistema linear com mais equações do que variáveis sempre será impossível, ou seja, não admitirá solução;
III - quando um sistema linear tem infinitas soluções, ele é chamado de impossível, porque à Matemática só interessa soluções determinadas.
Assinale a opção correta.
(a) Todas as afirmativas são verdadeiras.
(b) Todas as afirmativas são falsas.
(c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
(d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
(e) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, amigão! A questão é sobre sistemas lineares e quer saber quais das três afirmativas são corretas. Vamos precisar lembrar dos conceitos de:
  • sistema consistente (tem solução) e inconsistente (não tem solução);
  • casos de solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções;
  • como se classifica cada caso (determinado, impossível ou indeterminado).

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “todo sistema linear admite, ao menos, uma solução.”
Teoria básica: um sistema linear pode ser consistente (ter solução) ou inconsistente (não ter solução).
Exemplo de sistema inconsistente:
x + y = 0, x + y = 1
Não há nenhum par (x,y) que satisfaça as duas ao mesmo tempo, então não existe solução. Logo, dizer que “todo sistema tem pelo menos uma solução” é falso.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “um sistema linear com mais equações do que variáveis sempre será impossível.”
Teoria: o número de equações maior que o de variáveis não garante inconsistência, porque algumas equações podem ser “repetidas” ou linhas múltiplas de outras.
Exemplo:
x + y = 2, 2x + 2y = 4, 3x + 3y = 6
São 3 equações e 2 variáveis, mas todas dão a mesma reta, logo há infinitas soluções. Então não é “sempre impossível”. A afirmativa II é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “quando um sistema linear tem infinitas soluções, ele é chamado de impossível.”
Teoria:
  • “Impossível” = sistema inconsistente, sem nenhuma solução.
  • “Possível e indeterminado” = sistema consistente com infinitas soluções.
    Portanto, infinitas soluções NÃO é chamado de impossível, e sim de indeterminado. A afirmativa III também é falsa.

Resposta

Letra (b): todas as afirmativas são falsas.

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