(11) Um resultado bastante utilizado é que, para t grande o bastante, e^{t} é muito maior que t^{n}, \forall n \in \mathbb{N} (o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e \ln t é muito menor que \sqrt[n]{t} (o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{\ln t}{\sqrt[n]{t}}=0.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos disponível.
O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N},
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{\sqrt[n]{t}}=0.
Informações que o enunciado dá (ou que são óbvias e usaremos):
  • A função numeradora é t\mapsto \ln t definida e derivável para t>0.
  • A função denominadora é t\mapsto \sqrt[n]{t}=t^{1/n} definida e derivável para t>0.
  • Ao deixar t\to+\infty, temos \ln t\to+\infty e t^{1/n}\to+\infty, portanto a expressão é do tipo indeterminado \tfrac{\infty}{\infty}.
    O objetivo é mostrar que essa razão tende a zero quando t cresce sem limite.

Passo 2

Reconhecendo o tipo indeterminado e qual ferramenta usar.
Como observei, ao fazer t\to+\infty tanto o numerador quanto o denominador vão para +\infty, então a forma é \tfrac{\infty}{\infty}. Numa situação assim uma ferramenta padrão e eficiente é a Regra de L’Hôpital, que permite trocar a razão das funções pela razão de suas derivadas (quando as hipóteses se aplicam). Vou usar essa regra porque aqui as funções são simples e diferenciáveis em (0,+\infty).

Passo 3

Enunciando a Regra de L’Hôpital (de forma prática) e verificando hipóteses.
Regra de L’Hôpital (forma aplicada): se f e g são funções diferenciáveis para t grande (por exemplo em (a,+\infty)), com g'(t)\neq0 para t grande, e se
\lim_{t\to+\infty} f(t)=\lim_{t\to+\infty} g(t)=+\infty
e se o limite
\lim_{t\to+\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}
existe (ou é +\infty ou -\infty), então
\lim_{t\to+\infty}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to+\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}.
Aqui tomamos f(t)=\ln t e g(t)=t^{1/n}. Verificações:
  • Ambas são diferenciáveis para t>0.
  • f(t)\to+\infty e g(t)\to+\infty quando t\to+\infty.
  • Assim as hipóteses para aplicar L’Hôpital (no caso \infty/\infty) estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular as derivadas e formar a nova razão.
Calculemos as derivadas:
  • f'(t)=(\ln t)' = \dfrac{1}{t}.
  • g'(t)=(t^{1/n})' = \dfrac{1}{n}\, t^{1/n - 1}.
Agora formamos a razão das derivadas:
\frac{f'(t)}{g'(t)} = \frac{\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{n}\, t^{1/n - 1}}.
Simplificando essa expressão passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{t}}{\dfrac{1}{n}\, t^{1/n - 1}} = \left(\frac{1}{t}\right)\cdot\left(\frac{n}{t^{1/n - 1}}\right) = n\cdot \frac{1}{t\cdot t^{1/n - 1}}.
Agora somamos os expoentes no denominador: t\cdot t^{1/n - 1} = t^{1 + (1/n - 1)} = t^{1/n}. Portanto
\frac{f'(t)}{g'(t)} = \frac{n}{t^{1/n}}.

Passo 5

Avaliar o limite da razão das derivadas e concluir pelo L’Hôpital.
Considerando t\to+\infty,
\frac{n}{t^{1/n}} \to 0,
porque t^{1/n}\to+\infty e o numerador n é constante fixo. Pelo resultado da Regra de L’Hôpital (Passo 3) segue que
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{t^{1/n}} = \lim_{t\to+\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)} = \lim_{t\to+\infty}\frac{n}{t^{1/n}} = 0.
Isso prova exatamente o que era pedido.

Passo 6

Comentário alternativo rápido (intuição extra, sem provar formalmente novamente).
Uma outra forma de ver intuitivamente o resultado é fazer a substituição t=e^{u} (então u=\ln t e t^{1/n}=e^{u/n}). O limite vira
\lim_{u\to+\infty}\frac{u}{e^{u/n}}.
Aqui o denominador é exponencial em u enquanto o numerador é linear; é clássico que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios (ou lineares), o que dá o mesmo resultado 0. Essa é só uma alternativa intuitiva; a prova formal que dei com L’Hôpital é direta e completa.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to+\infty}\frac{\ln t}{\sqrt[n]{t}}=0.

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