(11) Um resultado bastante utilizado é que, para
grande o bastante,
é muito maior que
(o crescimento exponencial é muito mais rápido que o polinomial), e
é muito menor que
(o crescimento logarítmico é muito mais lento que o de qualquer raiz). Prove isso, garantindo que:
.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos disponível.
O enunciado pede para provar que, para todo
,
Informações que o enunciado dá (ou que são óbvias e usaremos):
- A função numeradora é
definida e derivável para . - A função denominadora é
definida e derivável para . - Ao deixar
, temos e , portanto a expressão é do tipo indeterminado .
O objetivo é mostrar que essa razão tende a zero quandocresce sem limite.
Passo 2
Reconhecendo o tipo indeterminado e qual ferramenta usar.
Como observei, ao fazer
tanto o numerador quanto o denominador vão para
, então a forma é
. Numa situação assim uma ferramenta padrão e eficiente é a Regra de L’Hôpital, que permite trocar a razão das funções pela razão de suas derivadas (quando as hipóteses se aplicam). Vou usar essa regra porque aqui as funções são simples e diferenciáveis em
.
Passo 3
Enunciando a Regra de L’Hôpital (de forma prática) e verificando hipóteses.
Regra de L’Hôpital (forma aplicada): se
e
são funções diferenciáveis para
grande (por exemplo em
), com
para
grande, e se
e se o limite
existe (ou é
ou
), então
Aqui tomamos
e
. Verificações:
- Ambas são diferenciáveis para
. -
e quando . - Assim as hipóteses para aplicar L’Hôpital (no caso
) estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular as derivadas e formar a nova razão.
Calculemos as derivadas:
Agora formamos a razão das derivadas:
Simplificando essa expressão passo a passo:
Agora somamos os expoentes no denominador:
Portanto
Passo 5
Avaliar o limite da razão das derivadas e concluir pelo L’Hôpital.
Considerando
,
porque
e o numerador
é constante fixo. Pelo resultado da Regra de L’Hôpital (Passo 3) segue que
Isso prova exatamente o que era pedido.
Passo 6
Comentário alternativo rápido (intuição extra, sem provar formalmente novamente).
Uma outra forma de ver intuitivamente o resultado é fazer a substituição
(então
e
). O limite vira
Aqui o denominador é exponencial em
enquanto o numerador é linear; é clássico que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios (ou lineares), o que dá o mesmo resultado
. Essa é só uma alternativa intuitiva; a prova formal que dei com L’Hôpital é direta e completa.