(6) Sejam
e
funções deriváveis em
e tais que
. Sabendo-se que
e
, calcule o valor de
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo com clareza):
- São dadas duas funções
e , ambas deriváveis em . - Sabe-se que a composição satisfaz
para todo . - É dada a informação
. - É dada a informação
. - O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Passo 2
Entender a equação
. Ela diz que, para cada
, aplicando primeiro
e depois
obtém-se de volta
. Em termos intuitivos, isso significa que
é uma função “inversa à direita” de
; como isso vale para todo
e ambas são deriváveis, podemos usar derivação de ambos os lados para relacionar suas derivadas. Não vamos supor nada além do dado; apenas usaremos a propriedade acima e regras de diferenciação.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia para derivar a função composta
.
Vou explicar a regra da cadeia de um jeito bem direto: se , então a derivada
mede a taxa de variação de
em relação a
. A fórmula da regra da cadeia diz que a variação de
é a variação de
em relação à sua entrada
multiplicada pela variação de
em relação a
. Em símbolos:
Vou explicar a regra da cadeia de um jeito bem direto: se
Aqui cada símbolo significa:
-
é a derivada de avaliada no ponto (a inclinação de naquele ponto da sua variável). -
é a derivada de em (a inclinação de naquele ).
Passo 4
Derivar a igualdade dada
usando a regra da cadeia do Passo 3. A derivada do lado direito
em relação a
é
. Assim obtemos, para todo
:
Isto é uma relação geral entre as derivadas de
e
.
Passo 5
Agora avalie a relação do Passo 4 no ponto
. Substituindo
em
dá:
Aqui usei diretamente que a igualdade vale para todo
, então também vale em
.
Passo 6
Usar os dados numéricos. O enunciado nos diz que
e que
. Substituindo
em
temos
. Portanto a equação do Passo 5 fica:
Resolve-se para
:
Passo 7
Interpretação rápida e exemplo para fixar (opcional, mas ajuda a lembrar na prova). A relação que usamos é a mesma da fórmula da derivada de uma função inversa quando
e
são inversas: em pontos correspondentes
e
vale
. Um exemplo concreto: se
(então
para todo
) e escolhemos
tal que
, então
seria uma reta de coeficiente angular
, logo
, consistente com nosso resultado.