(6) Sejam f e g funções deriváveis em \mathbb{R} e tais que f(g(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}. Sabendo-se que f^{\prime}(3)=2 e g(0)=3, calcule o valor de g^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei tudo com clareza):
  • São dadas duas funções f e g, ambas deriváveis em \mathbb{R}.
  • Sabe-se que a composição satisfaz f(g(x)) = x para todo x\in\mathbb{R}.
  • É dada a informação f'(3)=2.
  • É dada a informação g(0)=3.
  • O que o enunciado pede: calcular o valor de g'(0).

Passo 2

Entender a equação f(g(x))=x. Ela diz que, para cada x, aplicando primeiro g e depois f obtém-se de volta x. Em termos intuitivos, isso significa que g é uma função “inversa à direita” de f; como isso vale para todo x e ambas são deriváveis, podemos usar derivação de ambos os lados para relacionar suas derivadas. Não vamos supor nada além do dado; apenas usaremos a propriedade acima e regras de diferenciação.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para derivar a função composta f(g(x)).
Vou explicar a regra da cadeia de um jeito bem direto: se h(x)=f(g(x)), então a derivada h'(x) mede a taxa de variação de h em relação a x. A fórmula da regra da cadeia diz que a variação de h é a variação de f em relação à sua entrada g(x) multiplicada pela variação de g em relação a x. Em símbolos:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • f'(g(x)) é a derivada de f avaliada no ponto g(x) (a inclinação de f naquele ponto da sua variável).
  • g'(x) é a derivada de g em x (a inclinação de g naquele x).

Passo 4

Derivar a igualdade dada f(g(x))=x usando a regra da cadeia do Passo 3. A derivada do lado direito x em relação a x é 1. Assim obtemos, para todo x:
f'(g(x))\cdot g'(x) = 1.
Isto é uma relação geral entre as derivadas de f e g.

Passo 5

Agora avalie a relação do Passo 4 no ponto x=0. Substituindo x=0 em f'(g(x))\cdot g'(x)=1 dá:
f'(g(0))\cdot g'(0) = 1.
Aqui usei diretamente que a igualdade vale para todo x, então também vale em x=0.

Passo 6

Usar os dados numéricos. O enunciado nos diz que g(0)=3 e que f'(3)=2. Substituindo g(0)=3 em f'(g(0)) temos f'(g(0))=f'(3)=2. Portanto a equação do Passo 5 fica:
2\cdot g'(0) = 1.
Resolve-se para g'(0):
g'(0) = \frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação rápida e exemplo para fixar (opcional, mas ajuda a lembrar na prova). A relação que usamos é a mesma da fórmula da derivada de uma função inversa quando f e g são inversas: em pontos correspondentes a e b=g(a) vale g'(a)=1/f'(b). Um exemplo concreto: se f(x)=2x+c (então f'(x)=2 para todo x) e escolhemos c tal que g(0)=3, então g seria uma reta de coeficiente angular 1/2, logo g'(0)=1/2, consistente com nosso resultado.

Resposta

g'(0)=\dfrac{1}{2}

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