Calcule os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 0}(t-\operatorname{tg} t) t^{-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite quando t tende a zero da função \dfrac{t-\operatorname{tg} t}{t^{3}}.
  • A expressão a avaliar é \displaystyle \lim_{t\to 0}\bigl(t-\operatorname{tg} t\bigr)t^{-3}, ou seja, \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{t-\tan t}{t^{3}}.
  • Observação importante: ao olhar para esse tipo de limite, o numerador e o denominador tendem a 0 quando t\to 0 (pois \tan 0=0), portanto é um caso de forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}. Precisaremos achar o comportamento da diferença t-\tan t até termos a ordem t^{3}.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): escolher um método prático.
  • Para obter o limite de uma expressão que envolve funções trigonométricas próximas de zero e termos como t^{3} no denominador, uma boa ideia é desenvolver as funções em séries de Taylor (Maclaurin) até a ordem necessária. Isso dá a expressão em potências de t e permite identificar o termo dominante.
  • Vou usar as expansões em série de \sin t e \cos t até ordens que permitam achar \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} até o termo em t^{3}. Essas expansões são fórmulas padrão que derivam das derivadas em zero; eu as apresento e explico no passo seguinte.

Passo 3

Expansões de referência (Maclaurin) e por que podemos usá-las:
  • A série de Taylor (Maclaurin) de \sin t em torno de 0 é
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} + \cdots.
Isto significa que, para t pequeno, \sin t = t - \dfrac{t^{3}}{6} + O(t^{5}). Aqui O(t^{5}) indica termos que crescem como t^{5} ou menores quando t\to 0.
  • A série de \cos t em torno de 0 é
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} + \cdots,
isto é, \cos t = 1 - \dfrac{t^{2}}{2} + O(t^{4}).
  • Essas expansões são válidas porque \sin e \cos são infinitamente diferenciáveis e suas séries convergem para as funções em todo \mathbb{R}. Para nosso objetivo precisamos dos termos até ordem t^{3} na expansão de \tan t.

Passo 4

Obter \tan t a partir de \sin t e \cos t (apenas até a ordem necessária):
  • Escrevemos
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5}), \qquad \cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4}).
  • Queremos \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}. Uma maneira prática é escrever 1/\cos t como uma série também. Seja u(t) = -\dfrac{t^{2}}{2} + O(t^{4}), então \cos t = 1 + u(t). Para |u| pequeno vale a expansão geométrica
\frac{1}{1+u} = 1 - u + u^{2} - \cdots.
  • Aplicando isso com u(t)=-\dfrac{t^{2}}{2}+O(t^{4}) obtemos, até a ordem que nos interessa,
\frac{1}{\cos t} = 1 - u(t) + O(t^{4}) = 1 + \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4}).
(Não precisamos do termo em t^{4} explicitamente, porque ao multiplicar por \sin t só interessam termos até t^{3}.)

Passo 5

Multiplicar para obter a expansão de \tan t até t^{3}:
  • Agora faça
\tan t = \sin t\cdot\frac{1}{\cos t} = \bigl(t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5})\bigr)\bigl(1 + \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4})\bigr).
  • Multiplicando e guardando só termos até t^{3}:
    • o termo t\cdot 1 t,
    • o termo t\cdot \dfrac{t^{2}}{2} \dfrac{t^{3}}{2},
    • o termo -\dfrac{t^{3}}{6}\cdot 1 -\dfrac{t^{3}}{6}.
    • demais produtos têm ordem \ge O(t^{5}) ou O(t^{4}) e não contribuem para o termo em t^{3}.
  • Somando os contribuintes em t^{3} obtemos
\tan t = t + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)t^{3} + O(t^{5}) = t + \frac{1}{3}t^{3} + O(t^{5}).

Passo 6

Calcular o numerador e o limite:
  • Então
t-\tan t = t - \Bigl(t + \frac{1}{3}t^{3} + O(t^{5})\Bigr) = -\frac{1}{3}t^{3} + O(t^{5}).
  • Dividindo por t^{3}
\frac{t-\tan t}{t^{3}} = -\frac{1}{3} + O(t^{2}).
  • Quando t\to 0, o termo O(t^{2}) tende a 0. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{t-\tan t}{t^{3}} = -\frac{1}{3}.

Passo 7

(Comentário alternativo — método com Regra de L’Hôpital, só para confirmação rápida)
  • A forma indeterminada \tfrac{0}{0} permite aplicar a Regra de L’Hôpital. Diferenciando numerador e denominador três vezes e avaliando em t=0 obtém-se o mesmo resultado -\tfrac{1}{3}. Esse cálculo alternativo confirma o valor encontrado pela expansão em séries.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados