Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite quando
tende a zero da função . - A expressão a avaliar é
, ou seja, . - Observação importante: ao olhar para esse tipo de limite, o numerador e o denominador tendem a
quando (pois ), portanto é um caso de forma indeterminada do tipo . Precisaremos achar o comportamento da diferença até termos a ordem .
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): escolher um método prático.
- Para obter o limite de uma expressão que envolve funções trigonométricas próximas de zero e termos como
no denominador, uma boa ideia é desenvolver as funções em séries de Taylor (Maclaurin) até a ordem necessária. Isso dá a expressão em potências de e permite identificar o termo dominante. - Vou usar as expansões em série de
e até ordens que permitam achar até o termo em . Essas expansões são fórmulas padrão que derivam das derivadas em zero; eu as apresento e explico no passo seguinte.
Passo 3
Expansões de referência (Maclaurin) e por que podemos usá-las:
- A série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de é
Isto significa que, para
pequeno,
. Aqui
indica termos que crescem como
ou menores quando
.
- A série de
em torno de é
isto é,
.
- Essas expansões são válidas porque
e são infinitamente diferenciáveis e suas séries convergem para as funções em todo . Para nosso objetivo precisamos dos termos até ordem na expansão de .
Passo 4
Obter
a partir de
e
(apenas até a ordem necessária):
- Escrevemos
- Queremos
. Uma maneira prática é escrever como uma série também. Seja , então . Para pequeno vale a expansão geométrica
- Aplicando isso com
obtemos, até a ordem que nos interessa,
(Não precisamos do termo em
explicitamente, porque ao multiplicar por
só interessam termos até
.)
Passo 5
Multiplicar para obter a expansão de
até
:
- Agora faça
- Multiplicando e guardando só termos até
: - o termo
dá , - o termo
dá , - o termo
dá . - demais produtos têm ordem
ou e não contribuem para o termo em .
- o termo
- Somando os contribuintes em
obtemos
Passo 6
Calcular o numerador e o limite:
- Então
- Dividindo por
dá
- Quando
, o termo tende a . Portanto
Passo 7
(Comentário alternativo — método com Regra de L’Hôpital, só para confirmação rápida)
- A forma indeterminada
permite aplicar a Regra de L’Hôpital. Diferenciando numerador e denominador três vezes e avaliando em obtém-se o mesmo resultado . Esse cálculo alternativo confirma o valor encontrado pela expansão em séries.