11 Seja
um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano
. Se
é um subespaço vetorial de
com a seguinte propriedade
mostre que
também tem esta propriedade.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um operador auto-adjunto
num espaço euclidiano
e um subespaço
tal que
implica
. A tarefa é mostrar que o subespaço ortogonal
também é estável por
, ou seja, que
implica
.
Passo 2
Agora, seja
. Para provar que
, basta verificar que
é ortogonal a qualquer
. De fato, usando a propriedade de auto-adjunção de
temos
e como por hipótese
e
, o produto interno
é zero. Portanto
para todo
, o que mostra que
está em
.
Resposta
Concluímos que
também é invariante por
, ou seja,
implica
.