11 Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V. Se U é um subespaço vetorial de V com a seguinte propriedade
u in U Rightarrow T(u) in U
mostre que U^perp também tem esta propriedade.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um operador auto-adjunto T num espaço euclidiano V e um subespaço U tal que uin U implica T(u)in U. A tarefa é mostrar que o subespaço ortogonal U^perp também é estável por T, ou seja, que win U^perp implica T(w)in U^perp.

Passo 2

Agora, seja win U^perp. Para provar que T(w)in U^perp, basta verificar que T(w) é ortogonal a qualquer uin U. De fato, usando a propriedade de auto-adjunção de T temos
lang<= T(w),urang<= = lang<= w, T(u)rang<=
e como por hipótese T(u)in U e win U^perp, o produto interno lang<= w,T(u)rang<= é zero. Portanto lang<= T(w),urang<==0 para todo uin U, o que mostra que T(w) está em U^perp.

Resposta

Concluímos que U^perp também é invariante por T, ou seja, win U^perp implica T(w)in U^perp.

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