12 Seja A in Mn(C). Mostre que B=barA^t A é hermitiana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado Ain Mn(C), a matriz B=bar A^t A é hermitiana. Estamos no tema de matrizes hermitianas e vamos usar as definições e propriedades de conjugação e transposição para provar B^dag>=r=B.

Passo 2

Lembrando que uma matriz B é hermitiana se B^dag>=r=B, onde B^dag>=r é o conjugado transposto de B. Por definição,
B^dag>=r=(overline B)^t

Passo 3

Vamos calcular explicitamente B^dag>=r. Começamos por escrever
B=bar A^t A
Então
overline B=bar A^t A=bar A^t;overline A =A^t,bar A

Passo 4

Agora aplicamos a transposição:
B^dag>=r=(overline B)^t=(A^t,bar A)^t=bar A^t,(A^t)^t=bar A^t A=B
Aqui usamos que (XY)^t=Y^tX^t e (A^t)^t=A.

Passo 5

Como mostramos que B^dag>=r=B, concluímos que B é hermitiana.

Resposta

A matriz B=bar A^t A satisfaz B^dag>=r=B e portanto é hermitiana.

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