14 Seja A in Mn(C). Mostre que:
a) barA^t A é diagonal se, e somente se, as colunas de A são vetores ortogonais dois a dois.
b) barA^t A=I se, e somente se, as colunas de A são vetores unitários ortogonais dois a dois.

Passo 1

Nesse exercício, temos uma matriz Ain Mn(C) cujas colunas são vetores a1,dots,an em C^n. O conteúdo envolve o produto interno hermitiano e a noção de matriz gramiana G=bar A^tA. Vamos usar a definição de produto interno lang<= x,yrang<==sumk=1^nxkyk para relacionar entradas de G com a ortogonalidade das colunas de A.

Passo 2

Primeiro, calculamos a (i,j)-ésima entrada de G=bar A^tA. Pela definição de multiplicação de matrizes e conjugação, temos
(bar A^tA)ij= sumk=1^n(bar A^t)ik,Akj =sumk=1^nAki,Akj =sumk=1^nak,i,ak,j =lang<= ai,ajrang<=

Passo 3

Com esse resultado, para provar (a) basta notar que G é diagonal se, e somente se, suas entradas fora da diagonal são zero. Ou seja, $ (\bar A^tA)_{ij}=0$ para todo (bar A^tA)ij=0. Mas isso equivale exatamente a ineq j, definindo vetores ortogonais. Portanto, lang<= ai,ajrang<==0 é diagonal bar A^tA as colunas de iff são ortogonais par a par.

Passo 4

Para [b], partimos de bar A^tA=I. Já sabemos por (a) que isso implica ortogonalidade par a par; falta ver que as diagonais valem 1. De fato, a diagonal de bar A^tA tem (bar A^tA)ii=lang<= ai,airang<==|ai|^2. Se bar A^tA=I, então |ai|^2=1 para todo i, ou seja, cada coluna tem norma 1. Logo, as colunas são vetores unitários e ortogonais. O argumento inverso também vale: colunas ortonormais implicam bar A^tA=I.

Resposta

a) bar A^tA é diagonal iff colunas de A são ortogonais par a par. b) bar A^tA=I iff colunas de A são ortonormais (unitárias e ortogonais).

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