Verifique se o conjunto é LI ou LD no espaço indicado:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de polinômios X=3,,-1+x,,2-x+4x^2,,2+x^3 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço E=mathscr P3( R). Vamos usar a definição de combinação linear e comparar coeficientes.

Passo 2

Consideramos a combinação linear genérica igual ao polinômio zero:
c1cdot 3 ;+ ;c2(-1 + x) ;+ ;c3(2 - x + 4x^2) ;+ ;c4(2 + x^3) ;=;0

Passo 3

Igualando coeficientes dos monômios 1,;x,;x^2,;x^3 obtemos o sistema:
3c1 - c2 + 2c3 + 2c4 = 0,
c2 - c3 = 0,
4c3 = 0,
c4 = 0

Passo 4

Da terceira equação vem c3=0; da quarta c4=0; com c3=0 a segunda dá c2=0; e substituindo no primeiro temos 3c1=0, logo c1=0.
Como a única solução é c1=c2=c3=c4=0, o conjunto X é linearmente independente.

Resposta

O conjunto X é linearmente independente em E = mathscr P3( R).

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