Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
rx1-x2+x3-2 x4=0 2 x1+3 x2-x3+2 x4=0

Passo 1

Neste exercício temos um sistema homogêneo em R^4:
x1 - x2 + x3 - 2x4 = 0 2x1 + 3x2 - x3 + 2x4 = 0
Precisamos encontrar a base do seu espaço de soluções (o núcleo da matriz de coeficientes) e a dimensão desse espaço.

Passo 2

Escrevemos a matriz augmentada e aplicamos eliminação de Gauss para achar as equações reduzidas:
[cccc|c 1 & -1 & 1 & -2 & 0 2 & 3 & -1 & 2 & 0 ]
Subtraindo 2×(linha1) da linha2, obtemos
[cccc|c 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 5 & -3 & 6 & 0 ]

Passo 3

Da segunda equação isolamos x2:
5x2 - 3x3 + 6x4 = 0 ,Rightarrow, x2 = 35x3 - 65x4
Da primeira equação isolamos x1:
x1 - x2 + x3 - 2x4 = 0 ,Rightarrow, x1 = x2 - x3 + 2x4 = -25x3 + 45x4

Passo 4

Definimos as variáveis livres x3 = s e x4 = t. Assim a solução geral fica
(x1,x2,x3,x4) = sl(-tfrac25,tfrac35,1,0r) + tl(tfrac45,-tfrac65,0,1r)

Passo 5

Para simplificar a base, podemos multiplicar os vetores por 5, obtendo
(-2,3,5,0)e(4,-6,0,5)

Passo 6

O número de variáveis livres é 2, logo a dimensão do espaço solução é 2.

Resposta

Uma base do espaço de soluções é {(-2,3,5,0),,(4,-6,0,5)} e a dimensão desse espaço é 2.

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