11 Seja
um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e
. Prove que:
(i)
. Conclua que posto
. Recorde que o posto de uma transformação linear
é a dimensão de
.
Sugestão: Para a parte do “conclua”, use a decomposição em subespaços ortogonais e também o Teorema do Núcleo e da Imagem:
.
(ii)
então
.
(i)
Sugestão: Para a parte do “conclua”, use a decomposição em subespaços ortogonais e também o Teorema do Núcleo e da Imagem:
(ii)
Passo 1
Estamos em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, e queremos provar que
e daí mostrar que
. Vamos usar as definições de núcleo, imagem, adjunto e complemento ortogonal, além do Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. Seja
, ou seja,
para algum
. Se
, então
. Logo
mostrando que
Passo 3
Agora computamos dimensões para concluir igualdades. Do Teorema do Núcleo e Imagem temos
Passo 4
Sabemos também que
, então
Passo 5
Substituindo em
obtém-se
Como já vimos que
Im T^{}=(ker T)^{\perp} e portanto posto(T)=posto(T^{}).
Passo 6
Para (ii), suponha
. Então, para todo
,
implicando
Resposta
(i)
e
.
(ii) Se , então
.
(ii) Se