11 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e T in L(V). Prove que:
(i) Im T^*=(ker T)^perp. Conclua que posto S. Recorde que o posto de uma transformação linear Im S é a dimensão de dim(V)=dim(Im T)+dim(ker T).
Sugestão: Para a parte do “conclua”, use a decomposição em subespaços ortogonais e também o Teorema do Núcleo e da Imagem: Se T T^*=0.
(ii) T=0 então .

Passo 1

Estamos em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, e queremos provar que ImT^*=(ker T)^perp e daí mostrar que dimImT=dimImT^*. Vamos usar as definições de núcleo, imagem, adjunto e complemento ortogonal, além do Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Mostramos primeiro que ImT^*subseteq(ker T)^perp. Seja yinImT^*, ou seja, y=T^*x para algum x. Se zinker T, então Tz=0. Logo
lang<= y,zrang<==lang<= T^*x,zrang<==lang<= x,Tzrang<==lang<= x,0rang<==0,
mostrando que y é ortogonal a todo zinker T, e assim yin(ker T)^perp.

Passo 3

Agora computamos dimensões para concluir igualdades. Do Teorema do Núcleo e Imagem temos
dim V=dimker T+dimImTedim V=dimker T^*+dimImT^*

Passo 4

Sabemos também que ker T^*=(ImT)^perp, então
dimker T^*=dim(ImT)^perp=dim V-dimImT

Passo 5

Substituindo em dim V=dimker T^*+dimImT^* obtém-se
dimImT^*=dim V-dimker T^*=dim V-(dim V-dimImT)=dimImT
Como já vimos que ImT^*subseteq(ker T)^perp e ambas têm mesma dimensão dimImT, concluímos
Im T^{}=(ker T)^{\perp} e portanto posto(T)=posto(T^{}).

Passo 6

Para (ii), suponha TT^*=0. Então, para todo v,
|T^*v|^2=lang<= T^*v,T^*vrang<==lang<= TT^*v,vrang<==0,
implicando T^*v=0 para todo v, logo T^*=0. De (i) segue que (ker T)^perp=ImT^*=0, então ker T=V e, assim, T=0.

Resposta

(i) ImT^*=(ker T)^perp e posto(T)=posto(T^*).
(ii) Se TT^*=0, então T=0.

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