Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
cccc1 & 0 & 0 & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformação linear em R^4 dada na base canônica pela matriz triangular superior
A=1 & 0 & 0 & -1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1
O conteúdo é encontrar autovalores e autovetores. Vamos usar (i) a propriedade de matrizes triangulares e (ii) resolver o sistema (A-lambda I)x=0 para cada autovalor.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Observamos
diag(A)=(1,2,3,1),
logo os autovalores são lambda=1,2,3,1. Assim lambda=1 tem multiplicidade algébrica 2, e lambda=2,3 têm multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para lambda=1 resolvemos
A-I=0 &0 &0 &-1 0 &1 &1 &0 0 &0 &2 &0 0 &0 &0 &0,
então, das equações:
  • da 1ª linha $ -x_4=0$ ⇒ -x4=0,
  • da 3ª linha x4=0 2x3=0,
  • da 2ª linha x3=0 x2+x3=0,
  • 4ª linha é trivial,
    logo x2=0 é livre. Assim
$$E_{1}={(t,0,0,0):t\in\mathbb R}=\mathrm{span}{(1,0,0,0)}.
$$

Passo 4

Para lambda=2 temos
A-2I=-1 &0 &0 &-1 0 &0 &1 &0 0 &0 &1 &0 0 &0 &0 &-1
As equações dão
  • 4ª linha -x4=0 x4=0,
  • 2ª linha x3=0,
  • 1ª linha -x1-x4=0 x1=0,
    logo x2 é livre e
$$E_{2}={(0,t,0,0):t\in\mathbb R}=\mathrm{span}{(0,1,0,0)}.
$$

Passo 5

Para lambda=3 escrevemos
A-3I=-2 &0 &0 &-1 0 &-1 &1 &0 0 &0 &0 &0 0 &0 &0 &-2
As equações dão
  • 4ª linha -2x4=0 x4=0,
  • 1ª linha -2x1-x4=0 x1=0,
  • 2ª linha -x2+x3=0 x3=x2,
    logo x2 é livre e
$$E_{3}={(0,t,t,0):t\in\mathbb R}=\mathrm{span}{(0,1,1,0)}.
$$

Resposta

Autovalores: lambda=1 (multiplicidade algébrica 2, geométrica 1), lambda=2 e lambda=3 (cada uma com multiplicidade algébrica e geométrica 1).
Autovetores: para lambda=1 qualquer múltiplo de (1,0,0,0); para lambda=2 qualquer múltiplo de (0,1,0,0); para lambda=3 qualquer múltiplo de (0,1,1,0).

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