Determine bases ortonormais para ker A, ker A^t, Im A e Im A^t para as matrizes A abaixo:
rrr0 & 0 & 1 1 & -1 & 0

Passo 1

O exercício pede pra achar bases ortonormais de quatro espaços associados à matriz A, ou seja, ker A, ker A^T, Im,A e Im,A^T. Vamos usar resolução de sistemas lineares para os núcleos e Gram–Schmidt (quando necessário) para as imagens.

Passo 2

Para encontrar ker A, a gente resolve A x=0. Escrevendo as equações:

Passo 3

0cdot x1 +0cdot x2 +1cdot x3 = 0, 1cdot x1 -1cdot x2 +0cdot x3 = 0

Passo 4

Da primeira vem x3=0. Da segunda, x1=x2. Logo
x = (x1,x2,x3) = (t,t,0) = t(1,1,0)
Então ker A é a reta gerada por (1,1,0). Para ficar ortonormal, basta normalizar esse vetor: |(1,1,0)|=raiz2, logo a base ortonormal é
$$
{,\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)}\n$$.

Passo 5

Para ker A^T, resolvemos A^T y=0. A^T é 3times2 e dá o sistema:
0cdot y1 +1cdot y2 =0, 0cdot y1 -1cdot y2 =0, 1cdot y1 +0cdot y2 =0
Dessas vem y2=0 e y1=0. Só a solução trivial, logo ker A^T=0 e sua base ortonormal é o conjunto vazio.

Passo 6

Para Im,A, note que A tem posto 2 (suas linhas são independentes), então Im,A= R^2. Uma base ortonormal canônica de R^2 é
(1,0),,(0,1)

Passo 7

Por fim, Im,A^T é o espaço gerado pelas linhas de A em R^3. As linhas são r1=(0,0,1) e r2=(1,-1,0). Elas são ortogonais, pois
|r1|=1. Já |r2|=raiz2 e (0,0,1),,tfrac1raiz2(1,-1,0) . Então uma base ortonormal é

Resposta

Bases ortonormais:
• ker A: tfrac1raiz2(1,1,0)
• ker A^T: conjunto vazio (espaço trivial)
• Im A: (1,0),,(0,1)
• Im A^T: (0,0,1),,tfrac1raiz2(1,-1,0)

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