Determine bases ortonormais para
para as matrizes
abaixo:
Passo 1
O exercício pede pra achar bases ortonormais de quatro espaços associados à matriz
, ou seja,
,
,
e
. Vamos usar resolução de sistemas lineares para os núcleos e Gram–Schmidt (quando necessário) para as imagens.
Passo 2
Para encontrar
, a gente resolve
. Escrevendo as equações:
Passo 3
Passo 4
Da primeira vem
. Da segunda,
. Logo
Então
é a reta gerada por
. Para ficar ortonormal, basta normalizar esse vetor:
, logo a base ortonormal é
$$
{,\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)}\n$$.
Passo 5
Para
, resolvemos
. A^T é
e dá o sistema:
Dessas vem
e
. Só a solução trivial, logo
e sua base ortonormal é o conjunto vazio.
Passo 6
Para
, note que
tem posto 2 (suas linhas são independentes), então
. Uma base ortonormal canônica de
é
Passo 7
Por fim,
é o espaço gerado pelas linhas de
em
. As linhas são
e
. Elas são ortogonais, pois
. Já
e
. Então uma base ortonormal é
Resposta
Bases ortonormais:
• ker A:
• ker A^T: conjunto vazio (espaço trivial)
• Im A:
• Im A^T: