As raízes desse polinômio são os autovalores. Temos então:
lambda1=alpha,
e lambda satisfazendo
lambda^2-alphalambda-alpha=0
cuja solução é
lambda2,3=alphapmraizalpha^2+4alpha2
Note que o discriminante é De. Se De (isto é, -4) estes dois são complexos; caso contrário são reais (com possibilidade de repetição quando De).
Passo 4
Para cada autovalor vamos achar o autovetor não-nulo resolvendo (A-lambda I)x=0.
Para lambda1=alpha:
A-alpha I=0&0&00&0&10&alpha&-alpha
As equações dão: x3=0 e alpha x2-alpha x3=0 ⇒ x2=0, e x1 fica livre. Logo um autovetor é
v1=100
Passo 5
Para lambda=lambda2 ou lambda3 (com lambdaneqalpha):
Da primeira linha de (A-lambda I)x=0 vem (alpha-lambda)x1=0 ⇒ x1=0. As duas últimas linhas dão o sistema
(alpha-lambda)x2+x3=0, alpha x2-lambda x3=0
Da primeira temos x3=-(alpha-lambda)x2. Escolhendo x2=1 (livre), fica
Isto vale para cada v=01-(alpha-lambda)=eginpmatrix01lambda-alpha .
Resposta
Os autovalores são
lambda1=alpha, lambda2,3=alphapmraizalpha^2+4alpha2
O autovetor associado a lambda1=alpha é (até escala) v1=(1,0,0)^T,
e, para cada lambda=lambda2 ou lambda3, um autovetor (até escala) é