Determine, de acordo com alpha in R, os possíveis autovalores e autovetores da TL dada pela matriz abaixo
[
\left( lll alpha & 0 & 0 0 & alpha & 1 0 & alpha & 0 \right) .

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar, em função de alphain R, os autovalores e autovetores da transformação linear cuja matriz, na base canônica, é
A= alpha & 0 & 0 0 & alpha & 1 0 & alpha & 0
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores: vamos precisar montar o polinômio característico e resolver det(A-lambda I)=0.

Passo 2

Para achar o polinômio característico, montamos
A-lambda I= alpha-lambda & 0 & 0 0 & alpha-lambda & 1 0 & alpha & -lambda
e calculamos o determinante. Como a primeira linha só tem alpha-lambda no canto, segue:
det(A-lambda I)=(alpha-lambda)det alpha-lambda & 1 alpha & -lambda =(alpha-lambda)l((alpha-lambda)(-lambda)-alphar)
Expandindo,
det(A-lambda I)=(alpha-lambda)(-lambda(alpha-lambda)-alpha)=(alpha-lambda)(lambda^2-alphalambda-alpha)

Passo 3

As raízes desse polinômio são os autovalores. Temos então:
lambda1=alpha,
e lambda satisfazendo
lambda^2-alphalambda-alpha=0
cuja solução é
lambda2,3=alphapmraizalpha^2+4alpha2
Note que o discriminante é De. Se De (isto é, -4) estes dois são complexos; caso contrário são reais (com possibilidade de repetição quando De).

Passo 4

Para cada autovalor vamos achar o autovetor não-nulo resolvendo (A-lambda I)x=0.
  1. Para lambda1=alpha:
A-alpha I=0&0&00&0&10&alpha&-alpha
As equações dão:
x3=0 e alpha x2-alpha x3=0 x2=0, e x1 fica livre. Logo um autovetor é
v1=100

Passo 5

  1. Para lambda=lambda2 ou lambda3 (com lambdaneqalpha):
    Da primeira linha de (A-lambda I)x=0 vem (alpha-lambda)x1=0 x1=0. As duas últimas linhas dão o sistema
(alpha-lambda)x2+x3=0, alpha x2-lambda x3=0
Da primeira temos x3=-(alpha-lambda)x2. Escolhendo x2=1 (livre), fica
Isto vale para cada v=01-(alpha-lambda)=eginpmatrix01lambda-alpha .

Resposta

Os autovalores são
lambda1=alpha, lambda2,3=alphapmraizalpha^2+4alpha2
O autovetor associado a lambda1=alpha é (até escala)
v1=(1,0,0)^T,
e, para cada lambda=lambda2 ou lambda3, um autovetor (até escala) é
v=(0,,1,,lambda-alpha)^T

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