12 Seja
um operador linear auto-adjunto. Mostre que se
então
. Use este fato para mostrar que
também implica que
.
Sugestão: Considere em separado os casos onde
é par ou ímpar, calcule
ou
para reduzir a potência e conclua com argumentos indutivos.
Sugestão: Considere em separado os casos onde
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno, se um operador linear auto-adjunto
satisfaz
então
. Em seguida, usar esse fato para provar que, para qualquer
,
implica
. Vamos usar propriedades de operadores auto-adjuntos e produto interno.
Passo 2
Começamos pelo caso base
. Como
é auto-adjunto, temos
Se
Passo 3
Agora considere um
par, digamos
com
. Suponha
. Então
Logo
Passo 4
Por fim, para
ímpar, escreva
. Se
, então
. Aplicamos o produto interno com
:
Isso mostra
Resposta
Logo, em todo caso, se
com
, então necessariamente
.