12 Seja T um operador linear auto-adjunto. Mostre que se T^2 v=0 então T v=0. Use este fato para mostrar que T^n v=0 também implica que T v=0, n>0.
Sugestão: Considere em separado os casos onde n é par ou ímpar, calcule ou para reduzir a potência e conclua com argumentos indutivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno, se um operador linear auto-adjunto T satisfaz T^2v=0 então Tv=0. Em seguida, usar esse fato para provar que, para qualquer n>0, T^nv=0 implica Tv=0. Vamos usar propriedades de operadores auto-adjuntos e produto interno.

Passo 2

Começamos pelo caso base n=2. Como T é auto-adjunto, temos
lang<= T^2v, vrang<= = lang<= Tv, Tvrang<= = |Tv|^2
Se T^2v=0 então lang<= T^2v, vrang<==0, logo |Tv|^2=0, o que implica Tv=0.

Passo 3

Agora considere um n par, digamos n=2k com k>=1. Suponha T^2kv=0. Então
lang<= T^2kv, vrang<= = lang<= T^k v, T^k vrang<= = |T^k v|^2 = 0
Logo T^k v=0. Se k=1 acabamos; se k>1, repetimos o mesmo argumento reduzindo sucessivamente a potência até chegar em T^2(cdot)=0, e então obtemos T(cdot)=0.

Passo 4

Por fim, para n ímpar, escreva n=2k+1. Se T^2k+1v=0, então T(T^2kv)=0. Aplicamos o produto interno com Tv:
lang<= T^2k+1v, Tvrang<= = lang<= T^2kv, T(Tv)rang<= = |T^k(Tv)|^2 = 0
Isso mostra T^k(Tv)=0. Mas T^k(Tv)=0 é um caso par de ordem 2k aplicado ao vetor Tv, e pelo passo anterior segue que Tv=0.

Resposta

Logo, em todo caso, se T^n v = 0 com n>0, então necessariamente T v = 0.

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