11 Sejam A e B matrizes do tipo n times n. Determine se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Para afirmativa(s) falsa(s) apresente um exemplo e justifique a(s) verdadeira(s).
( ) det(AB)=det(BA)
( ) det(2 A)=2 det(A)
( )
( )

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas matrizes quadradas A e B de ordem n e queremos decidir se as quatro propriedades envolvendo determinantes são verdadeiras ou falsas. Vamos usar propriedades básicas de determinante, como det(AB)=det(A)det(B), det(A^T)=det(A) e det(kA)=k^n·det(A).

Passo 2

Análise da afirmativa (1): pela propriedade multiplicativa do determinante, temos det(AB)=det(A)·det(B) e det(BA)=det(B)·det(A). Como os produtos escalar são comutativos, det(A)·det(B)=det(B)·det(A), logo det(AB)=det(BA). Portanto a afirmativa (1) é verdadeira.

Passo 3

Análise da afirmativa (2): A notação A′ denota a transposta de A. A propriedade diz que det(A^T)=det(A) para toda matriz quadrada A. Logo a afirmativa (2) é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa (3): Em geral det(kA)=k^n·det(A) para matriz n×n. A igualdade det(2A)=2·det(A) só seria válida se n=1. Para n>1, det(2A)=2^n·det(A)≠2·det(A). Exemplo em n=2: seja A=I_2; det(2I_2)=2^2·det(I_2)=4·1=4, mas 2·det(I_2)=2·1=2. Logo (3) é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa (4): usando a multiplicatividade, det(A2)=det(A·A)=det(A)·det(A)=(det(A))2. Logo a afirmativa (4) é verdadeira.

Resposta

(1) Verdadeira
(2) Verdadeira
(3) Falsa. Contraexemplo: em n=2, A=I_2, det(2I_2)=4≠2·1=2.
(4) Verdadeira

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