Considere o espaço vetorial real Mn(R), das matrizes quadradas de ordem n. Seja T uma transformação definida em Mn(R): T(A)=A-A^t, forall A in Mn(R), onde A^t é a transposta da matriz A.
a) Mostre que T é uma transformação linear.
b) Determine o núcleo de T, a sua dimensão e uma base.
c) Considere n=2. Determine a matriz que representa a transformação linear T, supondo fixada a base canônica no espaço M2(R).

Passo 1

O enunciado: Temos o espaço vetorial real Mn( R) e a transformação Tcolon Mn( R)to Mn( R) dada por T(A)=A-A^t. Precisamos mostrar que é linear, encontrar o núcleo, sua dimensão e base, e para n=2 obter a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos as duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para quaisquer A,Bin Mn( R) e alphain R:
T(A+B)=(A+B)-(A+B)^t=A+B-A^t-B^t=T(A)+T(B),
T(alpha A)=alpha A-(alpha A)^t=alpha A-alpha A^t=alpha(A-A^t)=alpha T(A)

Passo 3

O núcleo de T é
ker T=Ain Mn( R):T(A)=0=A:A-A^t=0=A:A=A^t,
ou seja, o subespaço de todas as matrizes simétricas.

Passo 4

Para calcular dimker T, lembramos que uma matriz simétrica de ordem n é determinada pelos n elementos da diagonal e pelos tfracn(n-1)2 elementos acima dela. Logo
dimker T= n + n(n-1)2 = n(n+1)2

Passo 5

Uma base do espaço das matrizes simétricas é formada pelas matrizes
Eii, i=1,dots,n,
Eij+Eji, 1<= i
onde (Eij)kl=1 se (k,l)=(i,j) e 0 caso contrário.

Passo 6

Para n=2, a base canônica de M2( R) é (E11,E12,E21,E22). Calculando:
T(E11)=E11-E11^t=0,
T(E12)=E12-E21,
T(E21)=E21-E12,
T(E22)=E22-E22=0

Passo 7

Expressando cada resultado em coordenadas na base (E11,E12,E21,E22) e montando as colunas, obtemos a matriz de T em bloco:

Resposta

a) T é linear.
b) ker T=Ain Mn( R):A=A^t, dimker T=tfracn(n+1)2, base dada por Eii ( i=1,dots,n) e Eij+Eji ( i).
c) Para n=2, na base (E11,E12,E21,E22), a matriz de T é
0 & 0 & 0 & 00 & 1 & -1 & 00 & -1 & 1 & 00 & 0 & 0 & 0

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