Considere o espaço vetorial real
, das matrizes quadradas de ordem n. Seja
uma transformação definida em
, onde
é a transposta da matriz
.
a) Mostre que
é uma transformação linear.
b) Determine o núcleo de
, a sua dimensão e uma base.
c) Considere
. Determine a matriz que representa a transformação linear
, supondo fixada a base canônica no espaço
.
a) Mostre que
b) Determine o núcleo de
c) Considere
Passo 1
O enunciado: Temos o espaço vetorial real
e a transformação
dada por
. Precisamos mostrar que é linear, encontrar o núcleo, sua dimensão e base, e para
obter a matriz de
na base canônica.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, verificamos as duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Para quaisquer
e
:
Passo 3
O núcleo de
é
ou seja, o subespaço de todas as matrizes simétricas.
Passo 4
Para calcular
, lembramos que uma matriz simétrica de ordem
é determinada pelos
elementos da diagonal e pelos
elementos acima dela. Logo
Passo 5
Uma base do espaço das matrizes simétricas é formada pelas matrizes
onde
Passo 6
Para
, a base canônica de
é
. Calculando:
Passo 7
Expressando cada resultado em coordenadas na base
e montando as colunas, obtemos a matriz de
em bloco:
Resposta
a)
é linear.
b) ,
, base dada por
(
) e
(
).
c) Para , na base
, a matriz de
é
b)
c) Para