Seja uma transformação linear em , onde e . Determine onde . Esta aplicação é um isomorfismo ?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a imagem pelo operador linear T de um vetor v em e verificar se T é um isomorfismo, ou seja, se é invertível. Vamos usar linearidade para obter e a condição de isomorfismo baseada no determinante da matriz de T na base canônica.
Passo 2
Como é linear e sabemos , , para a base canônica , , , primeiro escrevemos nessa base: . Então, por linearidade,
Passo 3
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Agora somamos componente a componente:
Passo 5
O que resulta em
Passo 6
Para checar se é isomorfismo, montamos a matriz de na base canônica cujas colunas são , , :