Seja T uma transformação linear em R^3, onde T(1,0,0)=(10,3,-1), T(0,1,0)=(5,3,-4) e T(0,0,1)=(4,6,-10). Determine T(v) onde v=(9,-4,9). Esta aplicação é um isomorfismo ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a imagem pelo operador linear T de um vetor v em R^3 e verificar se T é um isomorfismo, ou seja, se é invertível. Vamos usar linearidade para obter T(v) e a condição de isomorfismo baseada no determinante da matriz de T na base canônica.

Passo 2

Como T é linear e sabemos T(e1), T(e2), T(e3) para a base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), primeiro escrevemos v nessa base: v = 9,e1 - 4,e2 + 9,e3. Então, por linearidade,
T(v) = 9,T(e1) - 4,T(e2) + 9,T(e3)

Passo 3

Substituindo os valores dados:
T(v) = 9(10,3,-1) - 4(5,3,-4) + 9(4,6,-10)

Passo 4

Agora somamos componente a componente:
(90,27,-9) + (-20,-12,16) + (36,54,-90) = (90-20+36,;27-12+54,;-9+16-90)

Passo 5

O que resulta em
T(v) = (106,;69,;-83)

Passo 6

Para checar se T é isomorfismo, montamos a matriz de T na base canônica cujas colunas são T(e1), T(e2), T(e3):
A = 10 & 5 & 43 & 3 & 6-1 & -4 & -10

Passo 7

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 103 & 6-4 & -10 - 53 & 6-1 & -10 + 43 & 3-1 & -4 = -60 + 120 - 36 = 24

Passo 8

Como det(A)=24neq 0, a transformação T é invertível e, portanto, um isomorfismo.

Resposta

T(v) = (106,;69,;-83). Sim, é um isomorfismo, pois o determinante da matriz associada vale 24, diferente de zero.

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