Apresente o número de soluções dos sistemas abaixo utilizando determinantes.
rlllllll 3 x5+2 x4 & & & & + & x1 & = & 0 & & x3 & + & x2 & - & x1 & = & 0 & - & 9 x3 & - & x2 & + & 9 x1 & =0 & & & - & 3 x2 & + & x1 & =0 & & & & & x1 & =0

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo de 5 equações e 5 incógnitas x1,dots,x5 e pede o número de soluções usando determinantes. O conteúdo é o critério de existência e unicidade de soluções pelo determinante da matriz de coeficientes (regra de Cramer) e o fato de sistemas homogêneos serem sempre consistentes.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz de coeficientes A ordenando as variáveis como (x1,x2,x3,x4,x5). Das equações temos:
A= 1 & 0 & 0 & 2 & 3 -1 & 1 & 1 & 0 & 0 9 & -1 & -9 & 0 & 0 1 & -3 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Para saber se o sistema homogêneo tem solução única ou infinitas, calculamos det(A). Expandindo por cofactor na 5ª linha (único elemento não-nulo na 1ª coluna):
det(A)=1cdot(-1)^5+1det(M5,1)=det(M5,1),
onde
M5,1= 0 & 0 & 2 & 3 1 & 1 & 0 & 0 -1 & -9 & 0 & 0 -3 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Agora expandimos det(M5,1) pela 1ª linha ou pela última coluna (mais direta, pois só o primeiro elemento da última coluna é não-nulo):
det(M5,1)=3cdot(-1)^1+4det1&1&0-1&-9&0-3&0&0=-3det(N),
com
N=1&1&0-1&-9&0-3&0&0
Como a 3ª coluna de N é toda zero, temos det(N)=0. Logo
det(A)= -3cdot0=0

Passo 5

Como o sistema é homogêneo (sempre consistente) e det(A)=0, ele não tem solução única. Portanto, existem infinitas soluções.

Resposta

Infinitas soluções.

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